最小正整数解（裴蜀定理）

 

 

题目描述

给定两个整数 a,ba,b​，你请求出最小的 ax+byax+by​ 使得 ax+by>0ax+by>0​。

x,yx,y 的取值随意。

输入描述

第 11 行为一个整数 TT，表示测试数据数量。

接下来的 TT​​ 行每行包含两个正整数，表示 a,ba,b​​。

1≤T≤105,−109≤a,b≤1091≤T≤105,−109≤a,b≤109​​。

保证 a,ba,b 不全为 00。

输出描述

输出共 TT 行，每行包含一个整数，表示每组数据答案。

输入输出样例

示例 1

输入

3
1 2 
2 3 
-2 4

输出

1
1
2

 

//裴蜀定理:
//设a,b是不全为0的整数,则存在整数x,y使得ax+by=gcd(a,b)
//扩展裴蜀定理:
//a,b为不小于0的整数,n为整数,是否存在不小于0的x和y使得ax+by=n有解?
//1、若n>ab-a-b,有解
//2、若n=0,有解(x=y=0)
//3、若n<0,无解(a,b,x,y均不小于0,无法线性变换出负数)
//4、若ax+by=n有解,则ax+by=ab-a-b-n无解

//本题需要求解最小的ax+by=n,使得n>0
//设a和b的最大公约数为gcd(a,b),因为a,b,x,y均为整数,其线性组合同样是gcd(a,b)的倍数
//故ax+by=k*gcd(a,b) 
//令k=1,可得最小的ax+by=gcd(a,b) 
//故本题直接求解gcd(a,b)即可
//注意当ab异号时gcd(a,b)返回负数,需要取绝对值 

// Problem: 8. 最小正整数解
// Contest: Lanqiao
// URL:
// https://www.lanqiao.cn/problems/1297/learning/?page=4&first_category_id=1&second_category_id=8&sort=students_count&asc=0
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define endl '\n'
// #define int long long
using u32 = unsigned;
using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using PII = pair<int, int>;

const int N = 1e5 + 5;

void solve() {
  int a, b;
  cin >> a >> b;
  cout << abs(__gcd(a, b)) << endl;
}

signed main() {
  std::ios::sync_with_stdio(false);
  std::cin.tie(nullptr);

  int t;
  cin >> t;

  while (t--) {
    solve();
  }

  return 0;
}

/*
 *                        _oo0oo_
 *                       o8888888o
 *                       88" . "88
 *                       (| -_- |)
 *                       0\  =  /0
 *                     ___/`---'\___
 *                   .' \\|     |// '.
 *                  / \\|||  :  |||// \
 *                 / _||||| -:- |||||- \
 *                |   | \\\  - /// |   |
 *                | \_|  ''\---/''  |_/ |
 *                \  .-\__  '-'  ___/-. /
 *              ___'. .'  /--.--\  `. .'___
 *           ."" '<  `.___\_<|>_/___.' >' "".
 *          | | :  `- \`.;`\ _ /`;.`/ - ` : | |
 *          \  \ `_.   \_ __\ /__ _/   .-` /  /
 *      =====`-.____`.___ \_____/___.-`___.-'=====
 *                        `=---='
 *
 *
 *      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 *
 *            佛祖保佑       永不宕机     永无BUG
 */