蓝桥杯备赛Day17 数学

数论

快速幂

解决问题

更快地求解$a^b$的问题，利用二进制来算，如下图所示
![[快速幂.png]]代码如下:

//base是底数，power是指数
long long binpow(int base,int power){
	long long res=1; //计算结果
	while(power){ //最终指数右移到0
		if(power & 1){ //当前位是1更新res,因为0都是1
			res=(res*base)%mod;
		} 
		//更新base
		base=(base*base)%mod; //base为底数^(2^m-1),乘自己变成底数^(2^m)
		//更新power
		power>>=1; //有个=号
	} 
	return res;
}

费马小定理求逆元

1.取余的性质:
(a + b) % p = (a % p + b % p ) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p ) % p
(a / b) % p != (a % p / b % p) % p(特殊)
所以要求(a / b) % mod,利用费马小定理得,条件:如果p是一个质数，而整数b不是p的倍数,则
$$(a/b)\%mod=a\ast b^{(mod-2)}\%mod$$
代码:

long long res=binpow(b,mod-2);

记住mod= 998244353998244353是质数，1000000007(1e9 + 7)是质数，1e9 + 9是质数