十进制与二进制的问题1

        这两天有人问我一个问题：假设给定一个正整数x（0 < x < 10^6），将x转化成对应的二进制，其中含有n个1；令正整数y > x，将y转化成二进制后，同样含有n个1。求：y的最小值。

举个例子：

        15对应的二进制是：1111

        23对应的二进制是：10111

        若x = 15，则y的最小值是23。

我们探讨一下十进制转二进制的方法：

        1、不断除以2，并记录余数；

        2、逆序输出得到的余数。

举个例子：

求23对应的二进制：
23 ÷ 2 = 11 余 1
11 ÷ 2 = 5 余 1
5 ÷ 2 = 2 余 1
2 ÷ 2 = 1 余 0
1 ÷ 2 = 0 余 1
将余数逆序输出：10111。

如果将二进制转化成十进制，则可以使用加权求和方法：

求1011对应的十进制
位序：	3	  2	   1     0
二进制：1	  0	   1     1
权重： 2^3   2^2  2^1   2^0

接下来将每一位的二进制数字乘以权重，最后求和，得到对应十进制：

2^3 * 1 + 2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

（文章最后一部分是十进制与二进制相互转化的程序。）

那么，回到题目，求解该题目的程序如下：

#include<stdio.h>

int First_Function(int N) {
	int count = 0;
	while (N) {
		count += (N & 1);
		N >>= 1;
	}
	return count;
}

int Second_Function(int N) {
	int j = First_Function(N);
	for (int i = N + 1; i < 1000000; i++) {
		if (j == First_Function(i)) {
			return i;
		}
	}
}
int main() {
	int N;
	scanf("%d", &N);
	printf("The result:%d", Second_Function(N));
	return 0;
}

        函数 First_Function() 用来计算用户输入正整数对应二进制数中含有 1 的个数。函数Second_Function() 中，假设用户输入的正整数是 N ，则变量 j 是 N 对应二进制中含有 1 的个数。令变量 i 从 N+1 开始递增，当变量 i 对应二进制中含有 1 的个数与 j 相等，则停止循环并返回变量 i 。

在 First_Function() 函数中有这样两行代码：

count += (N & 1);
N >>= 1;

其中符号 & 代表按位与运算：

按位与运算：
a		b		a&b
0		0		 0
0		1		 0
1		0		 0
1		1		 1

那么，假设 N 为 25 ， N 对应的二进制数位 11001。N & 1 的计算过程为：

​
        1	1	0	0	1
        0	0	0	0	1
结果为: 0	0	0	0	1	（即N & 1 == 1）

​

N >>= 1 则表示 N 对应二进制数右移1位后的结果。同样假设N为25：

​
            1	1	0	0	1
右移1位：	0	1	1	0	0	（即N >> 1 == 12(对应二进制是1100)）

​

这样循环下去，即可得到N对应二进制中含有多少个1。

（当然，要知道 N 对应二进制中含有多少个1不止以上一种方法。在文章最后一部分二进制转十进制的程序中会有所提及。）

上面介绍了按位与运算 & 的计算方法，下面再说两个：按位或（|）、按位异或（^）：

按位或运算：
a		b		a|b
0		0		 0
0		1		 1
1		0		 1
1		1		 1

按位异或运算：
a		b		a^b
0		0		 0
0		1		 1
1		0		 1
1		1		 0

总结起来就是：

按位与（&）：全1得1（即只有当a 、b全是1时，a & b == 1）；
按位或（|）：有1得1（即当a 、b中只要有1，a | b == 1）；
按位异或（^）：全1全0均得0（即当a 、b全是1或全是0时，a ^ b == 0）。

十进制转二进制的c语言程序如下：

#include<stdio.h>

void print_binary(int n) {
	if (n > 1) {
		print_binary(n / 2);
	}
	printf("%d", n % 2);
}
int main() {
	int decimal;
	printf("Please input a decimal: ");
	scanf("%d", &decimal);
	printf("The binary representation of %d is : ", decimal);
	print_binary(decimal);
	printf("\n");
	return 0;
}

二进制转十进制的c语言程序如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int binary_to_decimal(char* binary) {

	int decimal = 0;
	int length = strlen(binary);

	for (int i = 0; i < length; i++) {
		if (binary[i] == '1') {
			decimal += 1 << (length - i - 1);
		}
		else if (binary[i] != '0') {
			printf("Illegal input: Binary numbers can only contain 0 and 1!\n");
			return -1;
		}
	}
	return decimal;
}

int main() {
	char binary[65];
	printf("Please input a binary number: ");
	if (scanf("%64s", binary) != 1) {
		printf("Input error,unable to read valid binary number.\n");
		return 1;
	}

	int decimal = binary_to_decimal(binary);
	if (decimal != -1) {
		printf("The decimal representation of %s is: %d.\n", binary, decimal);
	}
	return 0;
}

二进制转十进制还可以这样：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define DIGITAL_NUM 65

long DecimalToBinary(char n[]);

int main() {
	char num[DIGITAL_NUM];

	printf("Input a binary number: ");
	scanf("%s", num);

	printf("Binary %s convert to decimal number is: %ld\n", num, DecimalToBinary(num));

	return 0;
}

long DecimalToBinary(char n[]) {
	long DecimalResult = 0;
	int count = 0;
	int t;

	while (n[count] != '\0') {
		count++;
	}

	for (int i = 0; i < count; i++) {
		t = n[i] - '0';
		DecimalResult += (int)pow(2, count - i - 1) * t;
	}

	return DecimalResult;
}

        此外，如果只是想简单验证二进制与十进制之间转换的对不对，可以不采取以上复杂难懂的程序。以二进制转十进制为例：

#include<stdio.h>
int main(void) {
	int binary = 0b1100;
	printf("二进制1100的十进制值是：%d\n", binary);
	return 0;
}

以上内容如有不妥之处，请大家批评指正！谢谢大家！