P1353 [USACO08JAN] Running S(java dp）

题目描述

奶牛们打算通过锻炼来培养自己的运动细胞，作为其中的一员，贝茜选择的运动方式是每天进行 n 分钟的晨跑。在每分钟的开始，贝茜会选择下一分钟是用来跑步还是休息。

贝茜的体力限制了她跑步的距离。更具体地，如果贝茜选择在第 i 分钟内跑步，她可以在这一分钟内跑 di​ 米，并且她的疲劳度会增加 1。不过，无论何时贝茜的疲劳度都不能超过 m。

如果贝茜选择休息，那么她的疲劳度就会每分钟减少 1，但她必须休息到疲劳度恢复到 0 为止。在疲劳度为 0 时休息的话，疲劳度不会再变动。晨跑开始时，贝茜的疲劳度为 0 。

还有，在 n 分钟的锻炼结束时，贝茜的疲劳度也必须恢复到 0，否则她将没有足够的精力来对付这一整天中剩下的事情。

请你计算一下，贝茜最多能跑多少米。

输入格式

第一行两个正整数n,m。
接下来 n 行，每行一个正整数 di​。

输出格式

输出一个整数，表示在满足所有限制条件的情况下，贝茜能跑的最大距离。

输入输出样例

输入 #1

5 2
5
3
4
2
10

输出 #1

9

说明/提示

【数据范围】
对于 100% 的数据，1≤n≤104，1≤di​≤1000，1≤m≤500。

【样例说明】

贝茜在第 1 分钟内选择跑步（跑了 5 米），在第 2 分钟内休息，在第 3 分钟内跑步（跑了 4 米），剩余的时间都用来休息。
因为在晨跑结束时贝茜的疲劳度必须为0，所以她不能在第 5 分钟内选择跑步。
最终跑的总距离为 9。

解题代码：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static final int N = 10005;
    static final int M = 505;
    public static void main(String[] args){
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        int[] d = new int[N];
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            d[i] = scanner.nextInt();

        int[][] dp = new int[N][M];// dp[i][j]表示在第i分钟的疲劳度为j
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = m; j >= 0; j--){
                if(i + j <= n)// 判断最后能否恢复疲劳度为0
                    dp[i + j][0] = Math.max(dp[i + j][0], dp[i - 1][j + 1]);
                if(j == 0)
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][0]);
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i - 1][j - 1] + d[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[n][0]);
    }
}

解题思路：

定义数组 dp[i][j] 表示在第 i 分钟，疲劳度为 j 时贝茜跑的最远距离。

状态转移方程：

在每一分钟，贝茜都有三种选择：跑步、休息。

• 如果选择继续跑步，那么就会增加一点疲劳度，则第 i 分钟所走的距离就应该是上一分钟的dp[i - 1][j - 1] + 这一分钟的路程 d[i] ，当然要求取最大值

  dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + d[i];

•  如果选择休息，就要休息到0为止，则需要判断它是否满足把疲劳度恢复为0所用的时间 i + j在 n 分钟内，由于在休息，所以走的路程并没有改变，仍是上一分钟的路程

  if(i + j <= n)//满足条件
      dp[i + j][0] = Math.max(dp[i + j][0], dp[i - 1][j + 1])

   

• 如果到了一直都在休息的情况，就是当前疲劳度已经是0，可能上一分钟也是休息状态，那么路程就会等于上一分钟疲劳度为0的情况

  dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][0]);