RNN万能逼近定理证明
RNN原理图和数学表达式
-
s t = U h t − 1 + W x t + b ∈ R D h s_t=Uh_{t-1}+Wx_t+b\in\mathbb{R}^{D_h} st=Uht−1+Wxt+b∈RDh
- s t ∈ R D h s_t\in\mathbb{R}^{D_h} st∈RDh
- U ∈ R D h × D h U\in\mathbb{R}^{D_h\times D_h} U∈RDh×Dh
- W ∈ R D h × D x W\in\mathbb{R}^{D_h\times D_x} W∈RDh×Dx
- b ∈ R D h b\in\mathbb{R}^{D_h} b∈RDh
-
h t = f ( s t ) ∈ R D h h_t=f(s_t)\in\mathbb{R}^{D_h} ht=f(st)∈RDh
- f f f 为sigmoid激活函数
- h t h_t ht 为t时刻隐状态
-
z t = V h t ∈ R D z z_t=Vh_t\in\mathbb{R}^{D_z} zt=Vht∈RDz
- V ∈ R D z × D h V\in\mathbb{R}^{D_z\times D_h} V∈RDz×Dh
-
L t = l ( z t , y t ) ∈ R L_t=l(z_t,y_t)\in\mathbb{R} Lt=l(zt,yt)∈R
- L = 1 T ∑ t = 1 T L t L=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TL_t L=T1∑t=1TLt
RNN的万能逼近定理及其证明
证明
【引理】
深度受限的万能逼近定理：任何函数可以被足够宽的单隐层全连接神经网络逼近。
对g使用单隐藏神经网络逼近（f为激活函数，输出层线性变换C）
s
t
=
g
(
s
t
−
1
,
x
t
)
≈
C
f
(
A
s
t
−
1
+
B
x
t
+
b
)
=
C
s
t
′
s_t=g(s_{t-1},x_t)\approx Cf(As_{t-1}+Bx_t+b)=Cs'_t
st=g(st−1,xt)≈Cf(Ast−1+Bxt+b)=Cst′
对复合函数O·g使用单隐层网络逼近（f为激活函数，输出层线性变换D）
s
t
′
=
f
(
A
s
t
−
1
+
B
x
t
+
b
)
=
f
(
A
C
s
t
−
1
′
+
B
x
t
+
b
)
s'_t=f(As_{t-1}+Bx_t+b)=f(ACs_{t-1}'+Bx_t+b)
st′=f(Ast−1+Bxt+b)=f(ACst−1′+Bxt+b)
y
t
=
O
(
s
t
)
=
O
(
g
(
s
t
−
1
,
x
t
)
)
≈
D
f
(
A
′
s
t
−
1
+
B
′
x
t
+
b
′
)
=
D
y
t
′
y_t=O(s_t)=O(g(s_{t-1},x_t))\approx Df(A's_{t-1}+B'x_t+b')=Dy'_t
yt=O(st)=O(g(st−1,xt))≈Df(A′st−1+B′xt+b′)=Dyt′
y
t
′
=
f
(
A
′
s
t
−
1
′
+
B
′
x
t
+
b
′
)
=
f
(
A
′
C
s
t
−
1
′
+
B
′
x
t
+
b
′
)
y'_t=f(A's_{t-1}'+B'x_t+b')=f(A'Cs_{t-1}'+B'x_t+b')
yt′=f(A′st−1′+B′xt+b′)=f(A′Cst−1′+B′xt+b′)
构建隐状态,得到其递推式
h
t
=
[
s
t
′
y
t
′
]
=
f
(
[
A
C
0
A
′
C
0
]
[
s
t
−
1
′
y
t
−
1
′
]
+
[
b
b
′
]
)
=
f
(
U
h
t
+
W
x
t
+
a
)
h_t=\begin{bmatrix}s'_t\\y'_t\end{bmatrix}=f\left(\begin{bmatrix}AC&0\\A'C&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}s_{t-1}'\\y_{t-1}'\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b\\b'\end{bmatrix}\right)=f(Uh_t+Wx_t+a)
ht=[st′yt′]=f([ACA′C00][st−1′yt−1′]+[bb′])=f(Uht+Wxt+a)
y
t
=
[
0
D
]
[
s
t
′
y
t
′
]
=
V
h
t
y_t=\begin{bmatrix}0&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}s'_t\\y'_t\end{bmatrix}=Vh_t
yt=[0D][st′yt′]=Vht
即全连接RNN的形式，通过训练得到参数
U
、
W
、
V
、
a
（即可得到
A
、
B
、
A
′
、
B
′
、
b
、
b
′
）
U、W、V、a（即可得到A、B、A'、B'、b、b'）
U、W、V、a（即可得到A、B、A′、B′、b、b′）
当RNN神经元数量足够多时，单隐藏神经网络能逼近函数g、O，此时RNN逼近任意非线性动力系统。
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