算法日记19：SC71多元最短路(Floyd)

一、题目：

二、题解：

1、我们一眼就可以看出这是一道多源最短路的题目，因此直接套用Floyd模板即可

2、Floyd原理解析

2.1：假设现在我们有这样一个图，要求我们求任意两个顶点的距离

2.2：对于这个样例，我们使用Floyd来做的步骤如下：（顺序不能改变！！）

• 其中，我们并不关心两个点之间是怎么连接的，仅仅只是枚举所有情况，查看是否有其他情况使得两个点之间的路径更小
  

2.3：也就是意味着我们要使用$O$(n³)的时间复杂度，因此点/边的数量级一般<1e3

我们并不证明公式的正确性，背下模板即可

三、代码解析如下：

3.1:代码分块解析

它的核心思想是通过多次迭代来更新路径，逐步得到图中任意两点的最短距离。下面是详细分块解释：

1. 常量与类型定义

typedef long long ll;
const int N=307;
ll dis[N][N];  //表示从i-->j的距离

• typedef long long ll;：定义 ll 为 long long 类型的别名，简化代码书写。
• const int N=307;：定义常量 N 为 307，表示最多有 307 个节点。这个值是预设的最大节点数，通常会根据问题要求进行调整。
• ll dis[N][N];：定义一个二维数组 dis，用来存储节点间的最短距离，dis[i][j] 表示从节点 i 到节点 j 的最短距离。

2. solve() 函数

void solve()
{
    ll n,m,q;cin>>n>>m>>q;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));

• ll n,m,q;cin>>n>>m>>q;：输入图的节点数 n，边数 m，以及询问次数 q。
• memset(dis,0x3f,sizeof(dis));：初始化 dis 数组，填充为一个非常大的值（0x3f3f3f3f），表示初始状态下所有节点之间的距离都是无穷大，除非通过边连接。
  • 0x3f3f3f3f 代表一个足够大的值，用于模拟“无穷大”。在后面的计算中，任何距离小于这个值的都会被替代。

3. 输入边的信息并更新距离

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ll ui,vi,wi;cin>>ui>>vi>>wi;
        dis[ui][vi]=min(dis[ui][vi],wi);    //对重边/自环的处理
    }

• for(int i=1;i<=m;i++)：循环处理每一条边。
• cin>>ui>>vi>>wi;：输入边的信息，ui 和 vi 是节点，wi 是边的权重。
• dis[ui][vi]=min(dis[ui][vi],wi);：更新 dis 数组中 dis[ui][vi] 的值，如果已经有路径存在，取最小值。这样可以处理重边或自环的情况，即如果两点之间有多个边，则选择权重最小的那个边。

4. 初始化对角线

    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;

• 这里将每个节点到自身的距离设置为 0，因为任何节点到自身的最短路径显然是 0。

5. Floyd算法核心

    for(int k=1;k<=n;k++)//中转点
        for(int i=1;i<=n;i++)   //起始点
            for(int j=1;j<=n;j++)   //指向点
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

• 这部分实现了 Floyd-Warshall 算法的核心逻辑。
  • k 是中转点，表示通过 k 来更新其他节点之间的最短路径。
  • 外层的 i 表示起始点，内层的 j 表示目标点。
  • dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]); 这个公式的含义是，如果从 i 到 j 的路径通过 k 节点更短，则更新 dis[i][j] 的值。通过三重循环对每一对节点 (i, j) 进行更新，遍历所有可能的中转点 k。

6. 处理询问

    while(q--)  //q次询问
    {
        ll ui,vi;cin>>ui>>vi;
        if(dis[ui][vi]>=4e18)   cout<<-1<<'\n';
        else cout<<dis[ui][vi]<<'\n';
    }
}

• while(q--)：处理每次询问，询问次数为 q。
• cin>>ui>>vi;：输入一对节点 ui 和 vi。
• if(dis[ui][vi]>=4e18)：如果 dis[ui][vi] 的值大于等于一个非常大的值 4e18（即无穷大），说明这两点之间不可达，输出 -1。
• else cout<<dis[ui][vi]<<'\n';：否则，输出 dis[ui][vi]，即节点 ui 到节点 vi 的最短距离。

3.2:完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=307;
ll dis[N][N];  //表示从i-->j的距离

void solve()
{
    ll n,m,q;cin>>n>>m>>q;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ll ui,vi,wi;cin>>ui>>vi>>wi;
        dis[ui][vi]=min(dis[ui][vi],wi);    //对重边/自环的处理
    }
    //初始化
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;

    for(int k=1;k<=n;k++)//中转点
        for(int i=1;i<=n;i++)   //起始点
            for(int j=1;j<=n;j++)   //指向点
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

    while(q--)  //q次询问
    {
        ll ui,vi;cin>>ui>>vi;
        if(dis[ui][vi]>=4e18)   cout<<-1<<'\n';
        else cout<<dis[ui][vi]<<'\n';
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int _=1;
    while(_--)solve();
    return 0;
}