高斯噪声、高斯滤波详解

最新推荐文章于 2025-03-27 15:10:05 发布

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文章标签：计算机视觉人工智能

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1 图像噪声

由于图像采集、处理、传输等过程不可避免的会受到噪声的污染，妨碍人们对图像理解及分析处理。常见的图像噪声有高斯噪声、椒盐噪声等。

高斯噪声

高斯噪声是指噪声密度函数服从高斯分布的一类噪声。由于高斯噪声在空间和频域中数学上的易处理性，这种噪声(也称为正态噪声)模型经常被用于实践中。高斯随机变量z的概率密度函数由下式给出：

其中z表示灰度值，μ表示z的平均值或期望值，σ表示z的标准差。标准差的平方σ2σ2称为z的方差。高斯函数的曲线如图所示。

那么我们一般怎样来判断图像中的噪声是否是高斯噪声呢？有以下几种方法：

视觉观察：
- 高斯噪声通常表现为均匀分布在整个图像上的细小颗粒状噪点。
- 噪声应该看起来是随机的，没有明显的模式或规律。
- 与椒盐噪声不同，高斯噪声不会产生极端的黑白点。
直方图分析：
- 对图像的灰度直方图进行分析。
- 如果噪声是高斯分布的，图像的灰度直方图应该呈现近似正态分布的形状。
- 可以使用统计软件或图像处理工具来绘制和分析直方图。
Q-Q图（Quantile-Quantile Plot）：
- Q-Q图是用来比较两个概率分布的图形方法。
- 如果噪声是高斯分布，Q-Q图应该呈现一条直线。
- 可以使用统计软件如R或Python的scipy库来绘制Q-Q图。
统计检验：
- 使用统计检验方法，如Kolmogorov-Smirnov检验或Shapiro-Wilk检验，来判断噪声分布是否符合正态分布。
- 这些检验可以给出一个p值，用于判断数据与正态分布的符合程度。
频域分析：
- 对图像进行傅里叶变换，分析其频谱特性。
- 高斯噪声在频域中应该表现为均匀分布的高频成分。
噪声提取：
- 如果有原始的无噪声图像，可以通过减法操作提取噪声。
- 分析提取出的噪声的统计特性，如均值、方差等。

以下是一个使用Python实现的进行直方图分析和Q-Q图分析的示例，大家有兴趣可以试一试：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
import cv2

# 读取图像
img = cv2.imread('noisy_image.jpg', 0)  # 以灰度模式读取

# 计算并绘制直方图
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(121)
plt.hist(img.ravel(), bins=256, range=[0, 256])
plt.title('Histogram')

# Q-Q图
plt.subplot(122)
stats.probplot(img.ravel(), dist="norm", plot=plt)
plt.title('Q-Q Plot')

plt.tight_layout()
plt.show()

# 进行Shapiro-Wilk检验
_, p_value = stats.shapiro(img.ravel())
print(f"Shapiro-Wilk test p-value: {p_value}")

2 图像平滑简介

图像平滑从信号处理的角度看就是去除其中的高频信息，保留低频信息。因此我们可以对图像实施低通滤波。低通滤波可以去除图像中的噪声，对图像进行平滑。根据滤波器的不同可分为均值滤波，高斯滤波，中值滤波，双边滤波。

高斯平滑（滤波）

高斯平滑（Gaussian Blurring）是一种常用的图像处理技术，通过将图像与一个高斯核（Gaussian Kernel）进行卷积来实现。高斯平滑的关键在于生成高斯核，这个核的权重矩阵是根据二维高斯函数计算的。

计算二维高斯核的权重矩阵

二维高斯函数的定义如下：

其中，σ 是标准差，决定了高斯核的宽度和程度，G(x,y)的分布是一个突起的帽子的形状。这里的σ可以看作两个值，一个是x方向的标准差σx，另一个是y方向的标准差σy。

当σx和σy取值越大，整个形状趋近于扁平；当σx和σy，整个形状越突起。

正态分布是一种钟形曲线，越接近中心，取值越大，越远离中心，取值越小。计算平滑结果时，只需要将"中心点"作为原点，其他点按照其在正态曲线上的位置，分配权重，就可以得到一个加权平均值。

高斯平滑在从图像中去除高斯噪声方面非常有效。

步骤：
1. 确定核的大小：一般来说，核的大小（如：k*k）选择为奇数，以保证中心点的对称性。常用的尺寸有 3*3, 5*5 等。核的大小与 σ有关，通常选择大约 ( 6σ + 1 ) 作为尺寸来确保足够的覆盖范围。

2. 生成权重矩阵：根据高斯函数公式对每个位置计算权重。

3. 归一化：为了保证核的权重和等于1（即卷积不会改变图像的亮度），需要将所有权重值归一化。

示例：计算 3 *3 高斯核

假设标准差 ( σ = 1.5 )，核的大小为3 *3 ，计算过程如下：

1. 确定核中心：对于 3 *3 核，中心为 (0, 0),该卷积核如下：

2. 计算权重：为了计算权重矩阵，需要设定σ的值。我们之前已经假定σ=1.5，使用二维高斯公式：

左下角的权重 G(-1, -1) 计算该点的权重：

可以使用以下代码来计算该点的权重：

import numpy as np

def gaussian_weight(x, y, sigma):
    return (1 / (2 * np.pi * sigma**2)) * np.exp(-((x**2 + y**2) / (2 * sigma**2)))

sigma = 1.5
x, y = -1, -1
weight = gaussian_weight(x, y, sigma)
print(f"Weight at position ({x}, {y}) is: {weight}")

类似地，计算其他位置的权重，得出模糊半径为1的权重矩阵如下：

3. 归一化：将所有权重值相加，得到总和，然后每个权重除以总和进行归一化，这9个点的权重总和等于0.4787147，如果只计算这9个点的加权平均，还必须让它们的权重之和等于1，因此上面9个值还要分别除以0.4787147，得到最终的权重矩阵。

示例Python代码：

另外再给一个计算和应用 5*5高斯核的示例：

import numpy as np
import cv2

def gaussian_kernel(size, sigma=1):
    kernel = np.zeros((size, size))
    center = size // 2
    sum_val = 0
    
    for x in range(size):
        for y in range(size):
            diff = np.sqrt((x - center) ** 2 + (y - center) ** 2)
            kernel[x, y] = np.exp(-(diff ** 2) / (2 * sigma ** 2))
            sum_val += kernel[x, y]
    
    # 归一化
    kernel = kernel / sum_val
    return kernel

# 核大小和标准差
kernel_size = 5
sigma = 1
gauss_kernel = gaussian_kernel(kernel_size, sigma)

# 打印生成的高斯核
print("Gaussian Kernel:")
print(gauss_kernel)

# 读取图像
image = cv2.imread('input_image.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 应用高斯平滑
smoothed_image = cv2.filter2D(image, -1, gauss_kernel)

# 显示原始和平滑后图像
cv2.imshow('Original Image', image)
cv2.imshow('Smoothed Image', smoothed_image)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

4.计算高斯模糊：有了权重矩阵，就可以计算高斯模糊的值了。假设现有9个像素点，灰度值（0-255）如下：

每个点乘以对应的权重值：

将这9个值加起来，就是中心点的高斯模糊的值。对所有点重复这个过程，就得到了高斯模糊后的图像。如果原图是彩色图片，可以对RGB三个通道分别做高斯平滑。