波动数列 | 动态规划-优快云博客

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观察这个数列：

1 3 0 2 -1 1 -2 …

这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3，且每一项都为整数。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 nn 和为 ss 而且后一项总是比前一项增加 aa 或者减少 bb 的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

共一行，包含四个整数 n,s,a,bn,s,a,b，含义如前面所述。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。

由于这个数很大，请输出方案数除以 100000007100000007 的余数。

数据范围

1≤n≤10001≤n≤1000,
−109≤s≤109−109≤s≤109,
1≤a,b≤1061≤a,b≤106

输入样例：

4 10 2 3

输出样例：

样例解释

两个满足条件的数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

题解：

发现数列直接写出来是这样：

$x+(x+d_{1})+(x+d_{1}+d_{2})+...+(x+d_{1}+d_{2}+...+d_{n-1})=s$

拆开括号：

$nx+(n-1)d_{1}+(n-2)d_{2}+...+d_{n-1}=s$

转化：

$\frac{s-(n-1)d_{1}-(n-2)d_{2}-...-d_{n-1}}{n}=x$

转化：

$\frac{s}{n}-\frac{(n-1)d_{1}+(n-2)d_{2}+...+d_{n-1}}{n}=x$

发现只有当s/n的余数和后半的余数相同时，x才能是整数。

于是DP[i][j]就出来了，代表当有i个a的时候（剩下n-1-i为b）余数为j的个数。

状态转移方程为：

$DP[(j+x)mod(n)][i]=DP[(j+x)mod(n)][i]+DP[j][i-1]$

其中x是（i*a） % n。

代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long int ll;


long long int MOD=1e8+7;
int n,s,a,b;
int dp[1001][1001]={{0}};

int col(int a){
    while(a<0){
        a+=n;
    }
    return a;
}

main(){
    cin >> n >> s >> a >> b;
    b*=(-1);
    int t1=a%n,t2=b%n;
    if(a%n<0){
        t1=col(a%n);
    }
    if(b%n<0){
        t2=col(b%n);
    }
    //cout << t1 << " " << t2 << "\n";
    dp[t1][1]++;dp[t2][1]++;
    for(int i=2;i<n;i++){
        int x=(i*a)%n;int y=(i*b)%n;
        //cout << x << " " << y << "\n";
        if(x<0){
            x=col(x);
        }
        if(y<0){
            y=col(y);
        }
        //cout << x << " " << y << "\n";
        for(int j=0;j<n;j++){
            //cout << "j: " << (j+x)%n << " i: " << (j+y)%n << "\n";
            if(dp[j][i-1]>0){
                dp[(j+x)%n][i]=(dp[(j+x)%n][i]+(dp[j][i-1]))%MOD;
                dp[(j+y)%n][i]=(dp[(j+y)%n][i]+(dp[j][i-1]))%MOD;
            }
        }
    }
    /*
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            cout << dp[i][j] << ' ';
        }
        cout << "\n";
    }
    */
    int tt=s%n;
    tt=col(tt);
    dp[tt][n-1]%=MOD;
    cout << dp[tt][n-1];
}