前缀和算法题--力扣.560和974

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1.1题目链接：560.和为K的子数组

1.2题目描述：

1.3解法(将前缀和存在哈希表中)

2.1题目链接：974.和可被整除的子数组

2.2题目描述：

2.3解法(前缀和在哈希表中)

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1.1题目链接：560.和为K的子数组

1.2题目描述：
 

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的子数组的个数 。

子数组是数组中元素的连续非空序列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：2

示例 2：

输入：nums = [1,2,3], k = 3
输出：2

提示：

• 1 <= nums.length <= 2 * 104
• -1000 <= nums[i] <= 1000
• -107 <= k <= 107

1.3解法(将前缀和存在哈希表中)

算法思路：

设i为数组中的任意位置，用sum[i]表示[0,1]区间内所有元素的和。

想知道有多少个以i为结尾的和为k的子数组，就要找到有多少个起始位置为x1，x2，x3···使得[x,i]区间内的所有的和为k。那么[0，x]区间内的和是不是就是sum[i]-k了。于是问题就可以转变成：

找到在[0,i-1]区间内，有多少前缀和等于sum[i] - k即可。我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在i位置之前，有多少个前缀和等于sum[i]-k。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash;//统计前缀和出现的次数
        hash[0] = 1;

        int sum = 0, ret = 0;
        for(auto x : nums)
        {
            sum += x; //计算当前位置的前缀和
            if(hash.count(sum-k))ret += hash[sum-k];//统计个数
            hash[sum]++;
        }
        return ret;
    }
};

2.1题目链接：974.和可被整除的子数组

2.2题目描述：

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的非空 子数组 的数目。

子数组 是数组中 连续 的部分。

示例 1：

输入：nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
输出：7
解释：
有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

示例 2:

输入: nums = [5], k = 9
输出: 0

提示:

• 1 <= nums.length <= 3 * 104
• -104 <= nums[i] <= 104
• 2 <= k <= 104

2.3解法(前缀和在哈希表中)

前置知识：同余定理

如果（a-b）% n == 0，那么我们可以得到一个结论：a%n == b%n。用文字叙述就是，如果两个数相减的差能被n整除，那么这两个数对n取模的结果相同。

例如：（26-2）% 12 ==0，那么26%12 ==  2%12 == 2。

c++中负数取模的结果，以及如何修正负数取模的结果

1.c++中关于负数取模运算，结果是把负数当成正数，取模之后的结果加上一个负号。

  例如：-1%3 = -（1%3）= -1

2.因为有负数，为了防止发生出现负数的结果，以（a%n + n）%n的形式输出保证为正。

  例如：-1%3 = （-1%3+3）% 3 = 2

算法思路：

思路与上一题的思路相似。

设i为数组中的任意位置，用sum[i]表示[0，i]区间内所有元素的和。

• 想知道有多少个以i为结尾的可被k整除的子数组，就要找到有多少个起始位置为x1，x2，x3···使得[x,i]区间内的所有元素的和可被k整除。
• 设[0, x-1]区间内所有元素之和等于a，[0, i]区间内所有元素的和等于b，可得（b-a）% k==0。
• 由同余定理可得，[0, x-1]区间与[0, i]区间内的前缀和同余。于是问题就变成：找到在[0，i-1]区间内，有多少前缀和的余数等于sum[i]%k的即可。

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在i位置之前，有多少个前缀和等于sum[i] - k。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        int ret = 0;
        int sum = 0;
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0 % k] = 1; //0这个数的余数
        for(int x:nums)
        {
            sum += x; //算出当前位置的前缀和
            int r = (sum%k+k)%k;  //修正后的余数
            if(hash.count(r))ret += hash[r];  //统计结果
            hash[r]++;
        }
        return ret;
    }
};