C++21--红黑树

于 2025-02-24 19:55:50 发布
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分类专栏： C++ 文章标签： c++
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目录

1.红黑树的概念

2.红黑树的性质

3.红黑树结点的定义

4.红黑树的结构

5.红黑树的插入操作

6.红黑树的验证

7.红黑树与AVL树的比较

1.红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因此是接近平衡的。

2.红黑树的性质

  1. 每个结点不是红色就是黑色
  2. 根节点是黑色的
  3. 如果一个结点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
  4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
  5. 每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点）

3.红黑树结点的定义

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};


template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{}
};

4.红黑树的结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为根节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的parent指向红黑树的根节点，left指向红黑树中最小的节点，right指向红黑树中最大的节点，如下：

5.红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1.按照二叉搜索的树规则插入新结点

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(kv);
	cur->_col = RED;
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	cur->_parent = parent;

	}

2.检查新结点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新结点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况讨论：

约定：cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

注意：此处看到的树，可能是一颗完整的树，也可能是一颗子树

如果g是根节点，调整完成后，需要将g改为黑色

如果g是子树，g一定有双气囊，且g的双亲如果是红色，需要继续向上调整

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

说明：u的情况有两种

1.如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点是黑色，就不满足性质4：每条路径黑色节点个数相同。

2.如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其是红色的原因是，现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色。

p为g的左孩子，cur为p的做孩子，则进行右单旋转；相反，

p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转

p、g变色--p变黑，g变红

情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p左左单旋转；相反，

p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转

则转换成了情况2

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(kv);
	cur->_col = RED;
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	cur->_parent = parent;

	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;
		if (parent == grandfather->_left)
		{
			Node* uncle = grandfather->_right;
			//u存在且为红
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				//变色
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				//继续向上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else //u不存在 或 存在且为黑
			{
				if (cur == parent->_left)
				{
					//     g
					//   p
					// c
					RotateR(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else
				{
					//     g
					//   p
					//       c
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);

					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}

				break;
			}
		}
		else
		{
			Node* uncle = grandfather->_left;
			//u存在且为红
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				//变色
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				//继续向上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else//u不存在或存在且为黑
			{
				if (cur == parent->_right)
				{
					RotateL(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else
				{
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}

				break;
			}
		}
	}
	_root->_col = BLACK;
	return true;
}

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* cur = parent->_right;
	Node* curleft = cur->_left;

	parent->_right = curleft;
	if (curleft)
	{
		curleft->_parent = parent;
	}

	cur->_left = parent;

	Node* ppnode = parent->_parent;

	parent->_parent = cur;
	if (parent == _root)
	{
		_root = cur;
		cur->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (ppnode->_left == parent)
		{
			ppnode->_left = cur;
		}
		else
		{
			ppnode->_right = cur;
		}

		cur->_parent = ppnode;
	}
}

void RotateR(Node* parent)
{
	Node* cur = parent->_left;
	Node* curright = cur->_right;

	parent->_left = curright;
	if (curright)
		curright->_parent = parent;

	Node* ppnode = parent->_parent;
	cur->_right = parent;
	parent->_parent = cur;

	if (ppnode == nullptr)
	{
		_root = cur;
		cur->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (ppnode->_left == parent)
		{
			ppnode->_left = cur;
		}
		else
		{
			ppnode->_right = cur;
		}

		cur->_parent = ppnode;
	}
}

动态效果演示：
以升序（降序）插入构建红黑树

随机插入构建红黑树

6.红黑树的验证

1.算出任意一条路径的黑色节点个数，通过递归的方式再算出其余黑色节点的个数，查看是否相等。设置基准值benchmark就是一条路径黑色节点的个数

2.检测是否出现连续出现红色节点

bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark)
{
	if (root == nullptr)
	{
		if (blacknum != benchmark)
			return false;

		return true;
	}

	if (root->_col == BLACK)
	{
		++blacknum;
	}

	if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl;
		return false;
	}

	return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark)
		&& CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);
}

bool IsBalance()
{
	return IsBalance(_root);
}

bool IsBalace(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return true;

	if (root->_col != BLACK)
	{
		return false;
	}

	//基准值
	int benchmark = 0;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
			++benchmark;

		cur = cur->_left;
	}

	return CheckColour(root, 0, benchmark);
}

7.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是o(log2(N)），红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以再经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

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