C++20--AVL树-优快云博客

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1AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯数学家G.M,Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2(N)），搜索时间复杂度O(log2(N))

2AVL树结点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_data(data)
		,_bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _left;   //该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _right;  //该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _parent; //该节点的双亲
	int _bf;                 //该节点的平衡因子
	T _data;
};

3AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;

	//···控制平衡因子
	//更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}

		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			//继续向上更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			//子树不平衡，需要旋转
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}

			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

4AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树种插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整数的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1.新节点插入较高左子树的左侧--左左：右单选

	/*
	上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树（注意：此处不是左孩子）中，30左子树增加
	了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层
	  即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，
	右子树根的之一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新系欸但的平衡因子即可。在旋转过程中，
	有以下几种情况需要考虑：
	1.30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
	2.60可能是根节点，也可能是子树
	如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
	如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
	*/
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* cur = parent->_left;
	Node* curright = cur->_right;

	parent->_left = curright;
	if (curright)
		curright->_parent = parent;

	Node* ppnode = parent->_parent;
	cur->_right = parent;
    parent->_parent = cur;

	if (ppnode == nullptr)
	{
		_root = cur;
		cur->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (ppnode->_left == parent)
		{
			ppnode->_left = cur;
		}
		else
		{
			ppnode->_right = cur;
		}
	}

	parent->_bf = cur->_bf = 0;
}

2.新节点插入较高右子树的右侧--右右：左单旋

//实际及情况考虑可参考有单旋	
void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_parent;
		Node* curleft = cur->_left;

		parent->_right = curleft;
		if (curleft)
		{
			curleft->_parent = parent;
		}

		cur->_left = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		parent->_parent = cur;

		if (parent == _root)
		{
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = cur;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = cur;
			}

			cur->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = cur->_bf = 0;
	}

3.新节点插入较高左子树的右侧--左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新

void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* cur = parent->_left;
	Node* curright = cur->_right;
	int bf = curright->_bf;

	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);

	if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		cur->_bf = 0;
		curright->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		cur->_bf = 0;
		curright->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = 0;
		cur->_bf = -1;
		curright->_bf = 0;
	}
}

4.新节点插入较高右子树的左侧--右左：先右单旋再左单旋

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* cur = parent->_right;
	Node* curleft = cur->_left;
	int bf = curleft->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
	{
		cur->_bf = 0;
		curleft->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		cur->_bf = 0;
		curleft->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		cur->_bf = 1;
		curleft->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

5AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分为两步：

1.验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2.验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1（注意节点中如果没有平衡因子）
节点的平衡因子是否计算正确

int Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	int leftHeight = Height(root->_left);
	int rightHeight = Height(root->_right);

	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

bool IsBalance(Node* root)
{
	if (_root == nullptr)
		return true;

	int leftHeight = Height(root->_left);
	int rightHeight = Height(root->_right);

	if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
	{
		cout << "平衡因子异常：" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;
		return false;
	}

	return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
		&& IsBalance(root->_left)
		&& IsBalance(root->_right);
}

6AVL树的删除

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

具体实现可以参考《数据结构-用面向对象方法与C++描述》--殷人昆版

7AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。