数学建模学习记录

一、层次分析法

二、模糊综合评价

三、熵权法

四、 TOPSIS

1.首先要确定层次结构

2.画出层次结构图：确定目标层，准则层，方案层

3.构造判断矩阵（确定评价指标重要性）

4.依照评价指标进行打分

5.求出权重，填表，求最后得分

6.层次总排序一次性检验

7.代码

1.解决评价类问题

2、确定隶属函数

3、具体步骤：

4.代码的实现

1.正向化处理

2.标准化处理

3.计算各个指标下每个样本比重

4.计算信息熵和熵权

1.指标正向化

2.第二步标准化

3.第三步用优略解打分

4.基于熵权法topsis优劣解距离法

（1）确定因素集（从某些可以评价的因素）

（2）确定评语集（评价的等级，例差，中，好，极好）

（3）确定各因素权重

（4）确定综合模糊判断矩阵

3.1 确定正、负理想解

3.2 计算距离

3.3 计算贴近度

4.1 熵权法确定权重

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文章标签：学习 matlab 数学建模

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层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是一种将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性和定量分析的决策方法，常用于评价类问题的打分。

评价的目标：明确具体的评价目标，如评估不同产品的综合性能、选择最佳的投资方案等，设为 $x,y,z$ 。
评价的标准：确定用于衡量目标达成程度的标准，如产品质量、成本、市场需求等，记为 $a,b,c$ 。
可选的方案：列出可供选择的具体方案，如不同品牌的产品、不同的投资项目等，记为 $x,y,z$ 。

在论文或报告中，需清晰展示层次结构，将评价目标置于顶层，即目标层；将评价标准置于中间层，即准则层；将可选方案置于底层，即方案层。这种可视化的展示有助于理解整个评价体系的架构。

在层次分析法中，为量化各因素间的相对重要性，需构建判断矩阵。该过程采用两两比较的方式，借助数字标度体系将定性判断转化为定量数值。具体标度规则如下表所示：表 1：判断矩阵标度及其含义

标度	含义
1	表示两个因素相比，具有同等重要性
3	表示两个因素相比，前者比后者稍重要
5	表示两个因素相比，前者比后者明显重要
7	表示两个因素相比，前者比后者强烈重要
9	表示两个因素相比，前者比后者极端重要
2, 4, 6, 8	表示上述相邻判断的中间值
倒数	若因素 i 与 j 比较得判断值$a_{ij}$，那么因素 j 与 i 比较的判断值为$a_{ji}=1/a_{ij}$

依据上述规则，针对评价标准构建判断矩阵。以评价标准a、b、c为例，构建的判断矩阵形式如下： $A=\begin{pmatrix} a_{aa} & a_{ab} & a_{ac} \\ a_{ba} & a_{bb} & a_{bc} \\ a_{ca} & a_{cb} & a_{cc} \end{pmatrix}$ 式中， $a_{ij}$ 表示相对于上一层某因素，因素i与因素j的相对重要性标度。例如，当判断认为标准a与b同等重要时， $a_{ab}=1$ ， $a_{ba}=1$ ；若标准a比c稍微重要，则 $a_{ac}=3$ ， $a_{ca}=1/3$ 。

同理，针对每个评价标准，构建关于可选方案的判断矩阵。以评价标准a为例，关于可选方案x、y、z的判断矩阵为： $A_a=\begin{pmatrix} a_{xx} & a_{xy} & a_{xz} \\ a_{yx} & a_{yy} & a_{yz} \\ a_{zx} & a_{zy} & a_{zz} \end{pmatrix}$ 这些判断矩阵为后续确定各因素权重，进而计算方案最终得分提供了数据基础。

针对每个评价标准，构建关于可选方案的判断矩阵。例如，当评价标准为 a，b，c 时，判断矩阵如下： $\begin{matrix} a & b & c \\ a & 1 & 1/2 & 4 \\ b & 2 & 1 & 1/5 \\ c & 1/4 & 5 & 1 \end{matrix}$

对于每个评价标准 a，b，c，针对可选方案 x，y，z 的判断矩阵分别为：

$\begin{matrix} a & x & y & z \\ x & 1 & 1/6 & 1/3 \\ y & 6 & 1 & 4 \\ z & 3 & 1/4 & 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} b & x & y & z \\ x & 1 & 1/6 & 1/3 \\ y & 6 & 1 & 4 \\ z & 3 & 1/4 & 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} c & x & y & z \\ x & 1 & 1/6 & 1/3 \\ y & 6 & 1 & 4 \\ z & 3 & 1/4 & 1 \end{matrix}$

方案的最终得分通过加权求和得到，即：方案最终得分 = 指标在一处得分 × 指标一的权重 + 指标在二处得分 × 指标二的权重 + … + 指标在 n 处得分 × 指标 n 的权重。

在确定权重之前，需要判断矩阵的一致性。对于非一致性矩阵，常用算术平均法求权重。同时，也可以使用特征值法求权重，为了保证结果的严谨性，建议两种方法同时使用。

确定各个判断矩阵的权重，并填入相应表格。通过计算，得出每个方案的最终得分.

一致性指标：设构造 n 个判断矩阵，一致性指标 $CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}$ ，其中 $\lambda_{max}$ 为判断矩阵的最大特征值， n 是判断矩阵阶数。

一致性比例：一致性比例 $CR = \frac{CI}{RI}$ ，其中 RI 为随机一致性指标。当 CR 小于 0.1 时，判断矩阵的一致性可以接受；否则，需要对判断矩阵进行修改。

对整个层次结构进行总排序的一致性检验。若 CR 小于 0.1，则符合一致性要求；否则，不符合一致性要求，需重新调整判断矩阵。

%% 层次分析法
% 只有非一致矩阵才需要一致性检验
% % 要先进行一致性检验，通过后才能求权重
%% 获取判断矩阵
disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[m, n] = size(A); % 先获取矩阵的行数和列数

% 检查矩阵是否为方阵
if m ~= n
    error('输入的矩阵不是方阵，请重新输入！');
end

%% 方法1： 算术平均法求权重
Sum_A = sum(A); %将A矩阵按列求和
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;

disp('算术平均法求权重的结果为：');
w1 = sum(Stand_A,2)./n;
disp(w1)

%% 方法2： 特征值法求权重
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));% 先按列求最大值，得到行向量，再从这个向量里面求最大值
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求权重的结果为：');
w2 = V(:,c) ./ sum(V(:,c));
disp(w2)
disp('两种方法的平均权值为：');
disp((w1 + w2) ./ 2);
%% 计算一致性比例CR
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %这里的RI最多支持 n = 15，注意检查！
% 这里n=2时，RI=0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数

% 检查矩阵阶数是否超过15
if n > 15
    error('矩阵阶数超过15，超出RI数组的支持范围，请重新输入！');
end

CR=CI/RI(n);
disp('最大特征值为:');
disp(Max_eig);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('CR<0.10，该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，该判断矩阵需要进行修改!');
end

应用场景：模糊综合评价广泛应用于解决评价标准模糊、难以精确量化的问题，例如产品质量评价、员工绩效评估、环境质量评估等。在这些场景中，评价结果往往带有主观性和模糊性，模糊综合评价能有效处理此类问题。

F 分布确定隶属函数：依据评价因素的特性，选择合适的 F 分布类型，如正态分布、梯形分布等，来确定隶属函数。以手机处理器性能评价为例，若采用正态分布隶属函数，需收集大量手机处理器性能数据，确定均值和标准差，进而构建隶属函数。

$\mu_3(x)=\begin{cases} 0, & x\leqslant84 \\ \frac{x - 84}{15}, & 84<x<100 \\ 1, & x\geqslant100 \end{cases}$
对 F 分布确定隶属函数的过程进行详细说明。以正态分布隶属函数为例，设评价因素为 x，均值为 $\mu$ ，标准差为 $\sigma$ ，则隶属函数可表示为： $\mu(x)=\exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ 在构建过程中，详细描述如何通过收集数据，利用统计方法计算 $\mu$ 和 $\sigma$ 。

三分法确定隶属函数：将评价对象的取值范围划分为三个区间，为每个区间确定相应的隶属函数。例如，在评价学生成绩时，可将成绩划分为低、中、高三个区间，分别构建隶属函数。

对于三分法确定隶属函数，以评价学生成绩为例，假设成绩范围为 0 - 100 分，将其划分为低（0 - 59 分）、中（60 - 84 分）、高（85 - 100 分）三个区间，可构建如下隶属函数：
低分段： $\mu_1(x)=\begin{cases} 1, & x\leqslant59 \\ \frac{84 - x}{25}, & 59<x<84 \\ 0, & x\geqslant84 \end{cases}$
中间分段： $\mu_2(x)=\begin{cases} 0, & x\leqslant59 \\ \frac{x - 59}{25}, & 59<x<84 \\ \frac{100 - x}{15}, & 84\leqslant x<100 \\ 0, & x\geqslant100 \end{cases}$
高分段： $\mu_3(x)=\begin{cases} 0, & x\leqslant84 \\ \frac{x - 84}{15}, & 84<x<100 \\ 1, & x\geqslant100 \end{cases}$

确定因素集：明确所有与评价对象相关的因素，构建因素集 $U={u1,u 2 ,…,un}$ 。

确定评价的等级类别，构建评语集 $V=\{v_1, v_2, \ldots, v_m\}$

确定各因素权重：运用层次分析法或熵权法等方法，确定每个因素在评价中的相对重要性，得到权重向量 $A=(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 且 $\sum_{i = 1}^{n}a_i = 1$

邀请多位评价者对每个因素在各个评语等级上进行评价，统计评价结果，计算每个因素对各个评语等级的隶属度，从而构建综合模糊判断矩阵 $R=(r_{ij})_{n\times m}$ ，其中 $r_{ij}$ 表示第 i 个因素对第 j 个评语等级的隶属度。

进行模糊综合评判：通过矩阵运算 $B = A \times R$ ，得到模糊综合评价结果向量 $B=(b_1, b_2, \ldots, b_m)$ 。通常选择最大隶属度原则，即取 $b_j$ 中数值最大的对应的评语等级作为最终评价结果。

多级模糊综合评价：当评价因素较多时，可将因素集划分为多个层次，进行多级模糊综合评价。首先对最底层因素进行评价，得到上一层因素的模糊评价矩阵，再逐层向上进行评价，直至得到最终的评价结果。

function fuzzy_evaluation()
    % 提示用户输入评价的级数
    levels = input('请输入模糊综合评价的级数 (1 表示单级，大于 1 表示多级): ');
    
    % 存储各级因素的权重向量和模糊判断矩阵
    weights = cell(levels, 1);
    fuzzy_matrices = cell(levels, 1);
    
    % 输入各级因素的权重向量和模糊判断矩阵
    for i = 1:levels
        fprintf('请输入第 %d 级因素的权重向量 (用空格分隔元素): ', i);
        weights{i} = input('');
        
        % 检查权重向量元素之和是否为 1
        if abs(sum(weights{i}) - 1) > 1e-6
            error('第 %d 级因素的权重向量元素之和必须为 1，请重新输入。', i);
        end
        
        fprintf('请输入第 %d 级因素的模糊判断矩阵 (按行输入，每行元素用空格分隔，行与行之间用回车分隔):\n', i);
        fuzzy_matrices{i} = input('');
    end
    
    % 进行模糊综合评价
    result = perform_fuzzy_evaluation(weights, fuzzy_matrices);
    
    % 输出模糊综合评价结果
    disp('模糊综合评价结果：');
    disp(result);
    
    % 找出最大隶属度对应的索引
    [~, index] = max(result);
    
    % 输出最终评价等级
    fprintf('最终评价等级：%d\n', index);
end

function result = perform_fuzzy_evaluation(weights, fuzzy_matrices)
    levels = length(weights);
    
    if levels == 1
        % 单级模糊综合评价
        result = weights{1} * fuzzy_matrices{1};
    else
        % 多级模糊综合评价
        % 从最底层开始逐级评价
        sub_results = cell(levels - 1, 1);
        for i = levels:-1:2
            if i == levels
                sub_results{i - 1} = weights{i} * fuzzy_matrices{i};
            else
                sub_results{i - 1} = weights{i} * sub_results{i};
            end
        end
        
        % 进行第一级模糊综合评价
        result = weights{1} * sub_results{1};
    end
end

熵权法作为一种客观赋权方法，依据指标数据的离散程度来确定权重。数据离散程度越大，表明该指标在综合评价中所蕴含的有效信息越多，其在综合评价里发挥的作用就越大，相应的权重也就越高。由于该方法仅依赖数据本身的特征，避免了人为因素干扰，因此在多指标综合评价领域应用广泛，如企业竞争力分析、环境质量评估、医疗风险评价等场景。

在实际评价过程中，评价指标可分为极大型（越大越好）、极小型（越小越好）、中间型（越接近某个值越好）和区间型（落在某个区间最佳）。为了统一评价方向，方便后续计算，通常需要将极小型、中间型和区间型指标转化为极大型指标，这个过程即为正向化处理。

极小型指标转极大型：通过公式 $x_i^*=\max(x)-x_i$ ，可以将极小型指标转化为极大型。其中， $x_i$ 表示原始数据， $x_i^*$ 表示正向化后的数据， $\max(x)$ 为该指标下的最大值。
中间型指标转极大型：设中间型指标的最佳值为 $x_best$ ，先计算 $M=\max|x_i - x_{best}|$ ，再通过公式 $x_i^*=1-\frac{|x_i - x_{best}|}{M}$ 进行正向化。
区间型指标转极大型：若指标的最佳区间为 $[a,b]$ ，首先计算 $M=\max\{a - \min(x), \max(x)-b\}$ ，当 $x_i < a$ 时， $x_i^*=1-\frac{a - x_i}{M}$ ；当 $a \leq x_i \leq b$ 时， $x_i^* = 1$ ；当 $x_i > b$ 时， $x_i^*=1-\frac{x_i - b}{M}$ 。

正向化处理后的数据，由于各指标的量纲和数量级可能不同，会对后续计算产生影响。因此，需要对数据进行标准化处理，以消除量纲的影响。

无负数数据标准化：当数据中不存在负数时，采用向量归一化法，公式为 $z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}x_{ij}^2}}$ ，其中 $x_{ij}$ 表示第j个指标下的第i个样本值， $z_{ij}$ 表示标准化后的值，n为样本数量。
存在负数数据标准化：当数据中存在负数时，采用极差标准化法，公式为 $z_{ij}=\frac{x_{ij}-\min(x_j)}{\max(x_j)-\min(x_j)}$ ，其中 $\max(x_j)$ 和 $\min(x_j)$ 分别为第j个指标的最大值和最小值。

经过标准化处理后，计算第j个指标下第i个样本的比重 $p_{ij}$ ，公式为 $p_{ij}=\frac{z_{ij}}{\sum_{i = 1}^{n}z_{ij}}$ 。比重 $p_{ij}$ 反映了每个样本在对应指标下的相对占比情况。

基于样本比重，计算第j个指标的信息熵 $e_j$ ，公式为 $e_j = -\frac{1}{\ln(n)}\sum_{i = 1}^{n}p_{ij}\ln(p_{ij})$ ，信息熵可以衡量指标数据的无序程度或不确定性。再计算信息效用值 $d_j = 1 - e_j$ ，信息效用值越大，说明该指标在评价中提供的有效信息越多。最后，通过公式 $w_j=\frac{d_j}{\sum_{j = 1}^{m}d_j}$ 计算第j个指标的熵权，其中m为指标数量。

代码：

% 清空工作区和命令窗口
clear; clc;

% 读取数据
X = xlsread('blind date.xlsx');

%% 正向化
disp('***************正在进行正向化...***************');
vec = input('请输入要正向化的向量组，请以数组的形式输入，如[1 2 3]表示1，2，3列需要正向化，不需要正向化请输入-1\n');
if (vec ~= -1)
    for i = 1 : length(vec)
        flag = input(['第' num2str(vec(i)) '列是哪类数据(【1】:极小型 【2】：中间型 【3】：区间型)，请输入序号：\n']);
        switch flag
            case 1 % 极小型
                X(:,vec(i)) = Min2Max(X(:,vec(i)));
            case 2 % 中间型
                best = input('请输入中间型的最好值：\n');
                X(:,vec(i)) = Mid2Max(X(:,vec(i)), best);
            case 3 % 区间型
                arr = input('请输入最佳区间，按照“[a,b]”的形式输入：\n');
                X(:,vec(i)) = Int2Max(X(:,vec(i)), arr(1), arr(2));
            otherwise
                error('输入的序号无效，请输入1、2或3。');
        end
    end
    disp('所有的数据均已完成正向化！')
end

%% 标准化
disp('***************正在进行标准化...***************');
[n, m] = size(X);
% 先检查有没有负数元素
isNeg = any(X(:) < 0);
if ~isNeg
    stand_X = X ./ repmat(sqrt(sum(X.^2)), n, 1);
else
    max_X = max(X, [], 1);
    min_X = min(X, [], 1);
    stand_X = (X - repmat(min_X, n, 1)) ./ (repmat(max_X, n, 1) - repmat(min_X, n, 1));
end
disp('标准化完成！')

%% 计算样本概率、信息熵和熵权
disp('***************正在用熵权法确定权值...***************');
P = stand_X ./ repmat(sum(stand_X), n, 1);
% 处理概率为0的情况
P(P == 0) = 0.00001;
H_x = sum(-P .* log(P));
e_j = H_x / log(n);
d_j = 1 - e_j;
% 进行归一化，获得熵权
disp('熵权完成，权值为：');
w = d_j / sum(d_j);

%% 极小型转极大型
function res = Min2Max(X)
    res = max(X) - X;
end

%% 中间型转极大型
function res = Mid2Max(X, best)
    M = max(abs(X - best));
    res = 1 - abs(X - best) / M;
end

%% 区间型转极大型
function res = Int2Max(X, a, b)
    M = max(a - min(X), max(X) - b);
    for i = 1 : length(X)
        if X(i) < a
            X(i) = 1 - (a - X(i)) / M;
        elseif X(i) >= a && X(i) <= b
            X(i) = 1;
        elseif X(i) > b
            X(i) = 1 - (X(i) - b) / M;
        end
    end
    res = X;
end

% 绘制 x*log(x) 的图像
x = linspace(0.0001, 1, 100);
y = x .* log(x);
figure;
plot(x, y);
xlabel('x');
ylabel('x * log(x)');
title('x * log(x) 函数图像');

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution），即逼近理想解排序法，是一种常用的多属性决策分析方法。该方法通过计算评价对象与理想解（最优解）和负理想解（最劣解）之间的距离，来评估各对象的优劣程度，在工程、经济、管理等众多领域都有广泛应用。

在多指标评价体系中，评价指标通常分为极大型（越大越好）、极小型（越小越好）、中间型（越接近某个值越好）和区间型（落在某个区间最佳）。由于 TOPSIS 方法要求所有指标具有同向性，所以需要将极小型、中间型和区间型指标转化为极大型指标，这一过程被称为指标正向化。

极小型指标转极大型：对于极小型指标，使用公式 $x_i^* = \max(x) - x_i$ 进行转换，其中 $x_i$ 为原始数据， $x_i^*$ 为正向化后的数据， $\max(x)$ 是该指标下的最大值。例如，在评估产品成本时，成本属于极小型指标，经过上述转换，可将其转化为极大型指标，方便后续计算。
中间型指标转极大型：设中间型指标的最佳值为 $x_{best}$ ，首先计算 $x_{best}$ ，再通过公式 $x_i^* = 1 - \frac{|x_i - x_{best}|}{M}$ 进行正向化。以评估室内温度为例，人体感觉最舒适的温度为中间型指标，通过该方法可将其转化为极大型指标。
区间型指标转极大型：若指标的最佳区间为 $[a, b]$ ，先计算 $M = \max\{a - \min(x), \max(x) - b\}$ 。当 $x_i < a$ 时， $x_i^* = 1 - \frac{a - x_i}{M}$ ；当 $a \leq x_i \leq b$ 时， $x_i^* = 1$ ；当 $x_i > b$ 时， $x_i^* = 1 - \frac{x_i - b}{M}$ 。例如在评价水质时，某些化学物质的含量需处于特定区间，就可采用此方法正向化。

正向化处理后，各指标的量纲和数量级可能不同，会对评价结果产生影响。因此，需要对数据进行标准化处理，以消除量纲的影响，使不同指标具有可比性。常用的标准化方法为向量归一化法，公式为 $z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}x_{ij}^2}}$ ，其中 $x_{ij}$ 表示第j个指标下的第i个样本值， $z_{ij}$ 表示标准化后的值，n为样本数量。

标准化后，确定正理想解 $Z^+$ 和负理想解 $Z^-$ 。正理想解是由各指标的最优值组成的向量，负理想解则由各指标的最劣值组成的向量。对于极大型指标， $Z_j^+ = \max_{i}(z_{ij})$ ， $Z_j^- = \min_{i}(z_{ij})$ ；对于极小型指标则相反。

计算每个评价对象与正理想解和负理想解的欧氏距离。与正理想解的距离 $D_i^+$ 为 $D_i^+ = \sqrt{\sum_{j = 1}^{m}(z_{ij} - Z_j^+)^2}$ ，与负理想解的距离 $D_i^-$ 为 $D_i^- = \sqrt{\sum_{j = 1}^{m}(z_{ij} - Z_j^-)^2}$ ，其中m为指标数量。

通过计算贴近度 $C_i$ 来评估各评价对象的优劣，贴近度公式为 $C_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}$ 。 $C_i$ 的值越接近 1，表示该评价对象越接近正理想解，即越优；越接近 0，表示该评价对象越接近负理想解，即越劣。

熵权法是一种客观赋权方法，通过计算指标的信息熵来确定指标权重。将熵权法与 TOPSIS 相结合，可以更客观地评价对象的优劣。

CR/ $\lambda$

采用熵权法确定指标权重，计算步骤如下：

计算比重：根据标准化后的数据 $z_{ij}$ ，计算第j个指标下第i个样本的比重 $p_{ij} = \frac{z_{ij}}{\sum_{i = 1}^{n}z_{ij}}$ 。
计算信息熵：计算第j个指标的信息熵 $e_j = -\frac{1}{\ln(n)}\sum_{i = 1}^{n}p_{ij}\ln(p_{ij})$ 。
计算信息效用值：计算信息效用值 $d_j = 1 - e_j$ ，信息效用值越大，表明该指标在评价中提供的有效信息越多。
计算权重：计算第j个指标的熵权 $w_j = \frac{d_j}{\sum_{j = 1}^{m}d_j}$ 。
4.2 加权 TOPSIS 计算

利用熵权法确定的权重，对标准化后的数据进行加权处理，得到加权标准化矩阵 $Y_{ij} = w_jz_{ij}$ 。然后，基于加权标准化矩阵，重新确定正理想解 $Y^+$ 和负理想解 $Y^-$ ，并计算各评价对象与正、负理想解的加权欧氏距离 $S_i^+$ 和 $S_i^-$ ，贴近度 $C_i' = \frac{S_i^-}{S_i^+ + S_i^-}$ ，以此对评价对象进行排序。

function topsis_entropy()
    % 读取数据
    % 从名为'工作簿1.xlsx'的Excel文件中读取数据，并存储在矩阵X中
    % 假设该文件包含待分析的多指标数据，每一行代表一个样本，每一列代表一个指标
    X = xlsread('工作簿1.xlsx');
    
    % 正向化处理
    % 调用forward_normalize函数对数据矩阵X进行正向化处理
    % 该函数会根据用户输入，将指定列的指标（极小型、中间型、区间型）转化为极大型指标
    X = forward_normalize(X);
    
    % 标准化处理
    % 调用standardize函数对正向化后的数据矩阵X进行标准化处理
    % 采用向量归一化法消除各指标的量纲影响，使数据具有可比性
    X = standardize(X);
    
    % 熵权法确定权重
    % 调用entropy_weight函数，通过熵权法计算各指标的权重
    % 该函数会返回一个权重向量，代表每个指标在评价中的相对重要性
    weight = entropy_weight(X);
    
    % TOPSIS计算
    % 调用define_ideal_solutions函数，根据标准化后的数据X和指标权重weight
    % 确定正理想解和负理想解，分别存储在positive_ideal和negative_ideal中
    [positive_ideal, negative_ideal] = define_ideal_solutions(X, weight);
    
    % 调用calculate_distances函数，计算每个样本与正理想解和负理想解的加权欧氏距离
    % 距离结果分别存储在distance_positive和distance_negative中
    [distance_positive, distance_negative] = calculate_distances(X, positive_ideal, negative_ideal, weight);
    
    % 调用calculate_closeness函数，根据上述计算的距离，计算每个样本的贴近度
    % 贴近度反映了样本与正理想解的接近程度，存储在closeness中
    closeness = calculate_closeness(distance_positive, distance_negative);
    
    % 输出结果
    % 打印提示信息，表明即将输出贴近度结果
    fprintf('贴近度:\n');
    % 显示每个样本的贴近度值
    disp(closeness);
end

function X = forward_normalize(X)
    % 显示提示信息，表明正在进行正向化操作
    disp('***************正在进行正向化...***************');
    % 提示用户输入需要正向化的列向量组，以数组形式输入，如[1 2 3]表示1、2、3列需要正向化
    % 若不需要正向化则输入-1，输入结果存储在vec中
    vec = input('请输入要正向化的向量组，请以数组的形式输入，如[1 2 3]表示1，2，3列需要正向化，不需要正向化请输入-1\n');
    if vec ~= -1
        for i = 1:length(vec)
            % 提示用户输入指定列的数据类型（1:极小型，2:中间型，3:区间型），输入结果存储在flag中
            flag = input(['第' num2str(vec(i)) '列是哪类数据(【1】:极小型 【2】：中间型 【3】：区间型)，请输入序号：\n']);
            switch flag
                case 1 % 极小型
                    % 调用Min2Max函数将极小型指标转化为极大型指标
                    X(:,vec(i)) = Min2Max(X(:,vec(i)));
                case 2 % 中间型
                    % 提示用户输入中间型指标的最佳值，输入结果存储在best中
                    best = input('请输入中间型的最好值：\n');
                    % 调用Mid2Max函数将中间型指标转化为极大型指标
                    X(:,vec(i)) = Mid2Max(X(:,vec(i)), best);
                case 3 % 区间型
                    % 提示用户输入区间型指标的最佳区间，以“[a,b]”形式输入，输入结果存储在arr中
                    arr = input('请输入最佳区间，按照“[a,b]”的形式输入：\n');
                    % 调用Int2Max函数将区间型指标转化为极大型指标
                    X(:,vec(i)) = Int2Max(X(:,vec(i)), arr(1), arr(2));
                otherwise
                    % 若用户输入的序号无效，抛出错误提示
                    error('输入的序号无效，请输入1、2或3。');
            end
        end
        % 显示提示信息，表明所有数据的正向化已完成
        disp('所有的数据均已完成正向化！');
    end
end

function X = standardize(X)
    % 显示提示信息，表明正在进行标准化操作
    disp('***************正在进行标准化...***************');
    % 获取数据矩阵X的行数n和列数m
    [n, m] = size(X);
    % 采用向量归一化法对数据进行标准化处理
    % 将每一列的元素除以该列元素平方和的平方根，以消除量纲影响
    X = X ./ repmat(sqrt(sum(X.^2, 1)), n, 1);
    % 显示提示信息，表明标准化已完成
    disp('标准化完成！');
    % 返回标准化后的数据矩阵X
    return X;
end

function weight = entropy_weight(X)
    % 显示提示信息，表明正在使用熵权法确定权重
    disp('***************正在用熵权法确定权值...***************');
    % 获取数据矩阵X的行数n和列数m
    [n, m] = size(X);
    % 计算每个样本在各指标下的比重矩阵P
    % 将数据矩阵X的每一个元素除以该列元素之和，得到比重矩阵
    P = X ./ repmat(sum(X, 1), n, 1);
    % 将比重矩阵P中值为0的元素替换为一个极小值eps，避免log(0)的错误
    P(P == 0) = eps;
    % 计算各指标的信息熵H_x
    % 根据比重矩阵P，按照信息熵公式计算每个指标的信息熵
    H_x = -sum(P .* log(P)) / log(n);
    % 计算各指标的信息效用值d_j
    % 用1减去信息熵得到信息效用值，信息效用值越大，指标越重要
    d_j = 1 - H_x;
    % 计算各指标的熵权weight
    % 将信息效用值进行归一化处理，得到各指标的熵权
    weight = d_j / sum(d_j);
    % 打印提示信息，表明熵权计算已完成，并显示各指标的熵权值
    fprintf('熵权完成，权值为：\n');
    disp(weight);
    % 返回熵权向量weight
    return weight;
end

function [positive_ideal, negative_ideal] = define_ideal_solutions(X, weight)
    % 获取数据矩阵X的行数n和列数m
    [n, m] = size(X);
    % 确定正理想解positive_ideal
    % 取每列的最大值，并乘以对应的指标权重，得到正理想解向量
    positive_ideal = max(X,[],1).*weight;
    % 确定负理想解negative_ideal
    % 取每列的最小值，并乘以对应的指标权重，得到负理想解向量
    negative_ideal = min(X,[],1).*weight;
    % 返回正理想解和负理想解向量
    return positive_ideal, negative_ideal;
end

function [distance_positive, distance_negative] = calculate_distances(X, positive_ideal, negative_ideal, weight)
    % 获取数据矩阵X的行数n和列数m
    [n, m] = size(X);
    % 计算每个样本与正理想解的加权欧氏距离distance_positive
    % 先计算每个样本与正理想解的差值，乘以权重后求平方和，再开方得到距离
    distance_positive = sqrt(sum((repmat(weight,n,1).*(X - repmat(positive_ideal,n,1))).^2, 2));
    % 计算每个样本与负理想解的加权欧氏距离distance_negative
    % 同理，计算每个样本与负理想解的差值，乘以权重后求平方和，再开方得到距离
    distance_negative = sqrt(sum((repmat(weight,n,1).*(X - repmat(negative_ideal,n,1))).^2, 2));
    % 返回与正理想解和负理想解的距离向量
    return distance_positive, distance_negative;
end

function closeness = calculate_closeness(distance_positive, distance_negative)
    % 计算每个样本的贴近度closeness
    % 根据贴近度公式，用与负理想解的距离除以与正、负理想解距离之和
    closeness = distance_negative ./ (distance_positive + distance_negative);
    % 返回贴近度向量
    return closeness;
end

function res = Min2Max(X)
    % 将极小型指标转化为极大型指标
    % 用该指标的最大值减去原始数据，得到正向化后的数据
    res = max(X) - X;
end

function res = Mid2Max(X, best)
    % 将中间型指标转化为极大型指标
    % 先计算原始数据与最佳值的绝对差值的最大值M
    M = max(abs(X - best));
    % 根据公式计算正向化后的数据
    res = 1 - abs(X - best) / M;
end

function res = Int2Max(X, a, b)
    % 将区间型指标转化为极大型指标
    % 计算最佳区间两端与数据最小值、最大值的差值的最大值M
    M = max(a - min(X), max(X) - b);
    for i = 1:length(X)
        if X(i) < a
            % 若数据小于区间下限，根据公式计算正向化后的数据
            X(i) = 1 - (a - X(i)) / M;
        elseif X(i) >= a && X(i) <= b
            % 若数据在区间内，正向化后的值为1
            X(i) = 1;
        elseif X(i) > b
            % 若数据大于区间上限，根据公式计算正向化后的数据
            X(i) = 1 - (X(i) - b) / M;
        end
    end
    % 返回正向化后的数据向量
    res = X;
end