0-1 背包问题及其 Java 实现

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0-1 背包问题及其 Java 实现

概述

0-1 背包问题是动态规划领域的经典问题之一。在这个问题中，你给定一组物品，每个物品都有一个重量和一个价值，确定在不超过背包承载能力的前提下，如何选取物品以使得总价值最大化。

问题描述

假设有 n 个物品和一个容量为 W 的背包。第 i 个物品的重量为 weight[i]，价值为 value[i]。0-1 背包问题的目标是选择一些物品放入背包中，以使得背包中物品的总价值最大，且总重量不超过背包的承载能力。

动态规划解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。基本思想是为每个物品 i（1 ≤ i ≤ n）和每个可能的背包容量 w（0 ≤ w ≤ W），计算在前 i 个物品中选择若干个放入容量为 w 的背包中可以获得的最大价值 dp[i][w]。

状态转移方程

[
dp[i][w] = \max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weight[i]] + value[i])
]

• 如果不选择第 i 个物品，dp[i][w] 就等于 dp[i-1][w]。
• 如果选择第 i 个物品，且其重量为 weight[i]，那么 dp[i][w] 就等于 dp[i-1][w - weight[i]] + value[i]。

Java 实现

以下是 0-1 背包问题的 Java 代码实现：

public class Knapsack {
   
    public static void main(String[] args)