【PTA数据结构 | C语言版】修理牧场

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题目

农夫要修理牧场的一段栅栏，他测量了栅栏，发现需要 n 块木头，每块木头长度为整数 li 个长度单位，于是他购买了一条很长的、能锯成 n 块的木头，即该木头的长度是 li 的总和。

但是农夫自己没有锯子，请人锯木的酬金跟这段木头的长度成正比。为简单起见，不妨就设酬金等于所锯木头的长度。例如，要将长度为 20 的木头锯成长度为 8、7 和 5 的三段，第一次锯木头花费 20，将木头锯成 12 和 8；第二次锯木头花费 12，将长度为 12 的木头锯成 7 和 5，总花费为 32。如果第一次将木头锯成 15 和 5，则第二次锯木头花费 15，总花费为 35（大于 32）。

请编写程序帮助农夫计算将木头锯成 n 块的最少花费。

输入格式:
输入首先给出正整数 n（≤10^4 ），表示要将木头锯成 n 块。第二行给出 n 个正整数（≤50），表示每段木块的长度。

输出格式:
输出一个整数，即将木头锯成 n 块的最少花费。

输入样例:
8
4 5 1 2 1 3 1 1

输出样例:
49

代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 最小堆结构定义
typedef struct MinHeap {
    int *data;    // 存储堆元素的数组
    int size;     // 当前堆的大小
    int capacity; // 堆的最大容量
} MinHeap;

// 创建一个新的最小堆
MinHeap* createMinHeap(int capacity) {
    MinHeap *heap = (MinHeap*)malloc(sizeof(MinHeap));
    heap->data = (int*)malloc((capacity + 1) * sizeof(int));
    heap->size = 0;
    heap->capacity = capacity;
    return heap;
}

// 向最小堆中插入元素
void insert(MinHeap *heap, int value) {
    // 堆已满则直接返回
    if (heap->size >= heap->capacity) return;
    
    // 将新元素添加到堆的末尾，并向上调整
    int i = ++heap->size;
    while (i > 1 && heap->data[i/2] > value) {
        heap->data[i] = heap->data[i/2];  // 父节点下移
        i /= 2;                          // 继续向上检查
    }
    heap->data[i] = value;  // 插入新元素到正确位置
}

// 从最小堆中提取最小值
int extractMin(MinHeap *heap) {
    if (heap->size == 0) return -1;  // 堆为空时返回-1
    
    int minVal = heap->data[1];      // 取出堆顶元素（最小值）
    int lastVal = heap->data[heap->size--];  // 取出最后一个元素并减小堆大小
    
    // 将最后一个元素放到堆顶，并向下调整
    int i = 1;
    while (i * 2 <= heap->size) {
        int child = i * 2;  // 左子节点
        // 选择较小的子节点
        if (child + 1 <= heap->size && heap->data[child + 1] < heap->data[child]) {
            child++;
        }
        // 如果子节点更小，则交换
        if (lastVal > heap->data[child]) {
            heap->data[i] = heap->data[child];
            i = child;
        } else {
            break;  // 已到达正确位置
        }
    }
    heap->data[i] = lastVal;  // 将最后一个元素放到正确位置
    
    return minVal;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    // 处理特殊情况：无需切割
    if (n <= 1) {
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    
    // 创建最小堆并插入所有木头长度
    MinHeap *heap = createMinHeap(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int length;
        scanf("%d", &length);
        insert(heap, length);
    }
    
    long long totalCost = 0;  // 使用long long防止溢出
    
    // 哈夫曼算法核心：每次合并最小的两个元素
    while (heap->size > 1) {
        int a = extractMin(heap);  // 取出最小元素
        int b = extractMin(heap);  // 取出次小元素
        int sum = a + b;           // 合并两个元素
        totalCost += sum;          // 累加合并成本
        insert(heap, sum);         // 将合并结果放回堆中
    }
    
    printf("%lld\n", totalCost);  // 输出最小总花费
    
    return 0;
}