位运算（1）

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博主ID：代码小豪

常见的位运算操作

关于位运算符的讲解博主之前做过了，因此不多赘述。

这里博主统计了在做位运算OJ题时常见的位运算操作

操作二进制数n的的第x位

确定一个二进制数n的的第x位是0还是1
我们给出一个int类型的整数n，其二进制如下
0010000 11000110 01111000 10000000

二进制位高位在左侧，因此我们可以规定，由低位到高位，其位数是从0开始计算的（也可以是1，不过为了方便二进制数进行左移右移操作，博主决定从0开始），即如下形式：

我们可以创建一个数i，令i=1，接着创建一个数j，如果n&(i<<j)=i或者(n>>j)&i=i。则说明整数n中的第j位是1，若不成立，则为0。

比如我们假设j=7。那么运算如下：

将一个二进制数n的第x位改为1
我们借助按位或（|）运算的性质，即两个二进制数的相同位的数存在1，则运算结果该位为1。记作有1为1。我们可以令n|=i<<x;或者n=n | i<<x;(i=1)。

我们还是用上面的例子，若是我们想让n的第19位改为1，则让n|=i<<19;计算式子如下：

将一个二进制数n的第x位改为0
我们可以让第n位的数按位与同位的0，因为任何二进制数与同位0进行按位与的操作都会将该位都会变成0，但是问题来了，由于我们只需要将二进制数n的第x位改为0，而其他位不变，因此我们只能让第x位的数与同位的0进行按位与，让其他数的与同位的1进行按位与。那么这该怎么怎么做呢？

其实很简单，我们令i=1，然后i<<x位，这样我们就得到了第x位为1，其他位为0的二进制数i。而我们再令i进行按位取反，那么这样就能得到一个第x位为0，其余位为1的数。

即n&=(~(i<<x));

我们拿上面的二进制数n为0，令第29位改为0，运算式如下：

位图

实际上位图简单来说，就是用二进制数表示的哈希表。

一般我们的哈希表会用顺序结构或者链式结构，但是如果我们哈希表映射的状态如果不多的话，可以使用一个二进制数来作为底层，通常每个位代表不同的状态，位的0,1表示状态的情况。位图在操作系统当中使用的非常广泛，因为位图很明显空间开销非常的小。

对二进制数n最右侧的1进行操作

提取一个二进制数n最右侧的1
这里我们要补充一个知识，即对任意一个二进制数n，其-n是如何表示的，由于我们的计算机当前使用的数的二进制存储都是补码形式。因此-n=(~n)+1。

我们还是以之前的二进制数n为例，其-n的二进制为：

观察可以发现，除了n最右侧的1，即第7位的1，其余的1都变成了0。此时我们令n&(-n),其结果为除了第7位的1（n最右侧的1）得到了保留，其余的数都变成0。这样就是提取出了二进制数n最右侧的1。运算式如下：

将二进制数n最右侧的1改成0
还是以上例的n为例，我们令n-1，其结果为：

通过观察可以发现，n最右侧的1（即第7位），该位于该位右侧的所有数，变成了相反的位。因此我们可以令n&(n-1)。得出的结果就是n最右侧的1（第七位的1）改为0的结果。

按位异或的规律

这里博主就不做演示了，直接给出结论
(1)a^a=0;
(2)a^0=a;
(3)a^b^c=a^(b^c)

前两个结论好理解，第三个结论表明异或操作符合结合律和交换律，（类似于乘法结合律和乘法结合律），由此我们可以得出结论，多个二进制数异或的结果，与数之间异或的顺序无关。