1. 优先级队列（PriorityQueue）
1.1 概念
队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，但在一些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的先出队列。例如，在玩手机时，有来电，那么系统肯定会优先处理来电，在这种情况下，队列就不适用。
优先级队列（PriorityQueue）：是具有两个最基本的操作的数据结构：一个是返回最高优先级，一个是添加对象 。
2. 优先级队列的模拟实现
2.1 堆的概念
如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式 存储在一 个一维数组中，并满足：Ki = K2i+1 且 Ki >= K2i+2（Ki>=K2i+1且Ki>=K2i+2） i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
- 堆总是一颗完全二叉树
2.2 堆的存储方式
堆是一棵完全二叉树，可以采用层序的规则，用顺序的方式高效存储。对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节 点，就会导致空间利用率比较低。
将元素存储到数组中后，根据二叉树的性质对树还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：
- 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
- 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
- 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子
2.3 堆的创建
2.3.1 堆向下调整
以大根堆为例，大根堆需要确保，每一棵子树都是大根堆，所以采用向下调整，从最后一个parent节点开始，每调整完后parent--，直到parent=0结束。
/**
* 向下调整--大根堆
* O(longN+1)
* @param parent 每棵子树向下调整的 起始位置
* @param usedSize 判断 每棵子树什么时候 调整结束
*/
private void shiftDown(int parent,int usedSize) {
// child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右
int child = parent * 2 + 1;
while (child < usedSize) {
if(child + 1 < usedSize && elem[child] < elem[child+1]) {
child++;
}
if(elem[child] > elem[parent]) {
// 将双亲与较大的孩子交换
swap(elem,parent,child);
// parent中小的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}else {
//如果双亲比其最大的孩子还大，说明该结构已经满足堆的特性了
break;
}
}
}
private void swap(int[] elem,int i,int j) {
int tmp = elem[i];
elem[i] = elem[j];
elem[j] = tmp;
}2.3.2 堆的创建
/**
* 创建堆
* O(N)-O(logN+1)-->O(N)
*/
public void createHeap() {
// 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整
for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0; parent--) {
shiftDown(parent,this.usedSize);
}
}2.2.3 建堆的时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是 近似值，多几个节点不影响最终结果):
假设树的高度为h
第1层有2^0个节点，需要向下移动h-1层
第2层有2^1个节点，需要向下移动h-2层
第3层有2^2个节点，需要向下移动h-3层
........
第h-1层有2^(h-2)个节点，需要向下移动1层
T(n) = 2^0 * (h-1) + 2^1 * (h-2) + 2^2 * (h-3) + 2^3 * (h-4) + ......+ 2^(h-3) * 2 + 2^(h-2) * 1①
2*T(n) = 2^1 * (h-1) + 2^2 * (h-2) + 2^3 * (h-3) + 2^4 * (h-4) + ......+ 2^(h-2) * 2 + 2^(h-1) * 1②
②-①错位相减
T(n) = 1 - h + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ...... + 2^(h-2) + 2^(h-1)
T(n) = 2^0 + 2^1 + 2^3 + 2^4 + ...... + 2^(h-2) + 2^(h-1) -h
T(n) = 2^h - 1 - h
n = 2^h -1
h = ㏒₂(n-1)
T(n) = n - ㏒₂(n-1) ≈ n
因此：建堆的时间复杂度为O(N)。
2.4 堆的插入与删除
2.4.1 堆的插入
堆的插入总共需要两个步骤：
- 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)
- 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质
//插入元素-->大根堆
public void offer(int val) {
if(isFull()) {
elem = Arrays.copyOf(elem,elem.length*2);
}
elem[usedSize] = val;
shiftUp(usedSize);
usedSize++;
}
private boolean isFull() {
return usedSize == elem.length;
}
/**
* 向上调整
* O(NlogN)
* @param child
*/
public void shiftUp(int child) {
// 找到child的双亲
int parent = (child-1)/2;
while(parent >= 0) {
// 将双亲与孩子节点进行交换
if(elem[child] > elem[parent]) {
swap(elem,child,parent);
// 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增
child = parent;
parent = (child-1)/2;
}else {
// 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束
break;
}
}
}2.4.2 堆的删除
注意：堆的删除一定删除的是堆顶元素。具体如下：
- 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
- 将堆中有效数据个数减少一个
- 对堆顶元素进行向下调整
//删除堆顶元素-->大根堆
public int poll() {
if(isEmpty()) {
throw new NullArrayException("数组为空");
}
int val = elem[0];
swap(elem,0,usedSize-1);
shiftDown(0,--usedSize);
return val;
}3.常用接口介绍
3.1 PriorityQueue的特性
Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue
关于PriorityQueue的使用要注意：
- 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即： import java.util.PriorityQueue;
- PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出 ClassCastException异常
- 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
- 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
- 插入和删除元素的时间复杂度为
- PriorityQueue底层使用了堆数据结构
- PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素
3.2 PriorityQueue常用接口介绍
3.2.1. 常用的优先级队列的构造方法
| 构造器 | 功能介绍 |
|---|---|
| PriorityQueue() | 创建一个空的优先级队列，默认容量是11 |
| PriorityQueue(int initialCapacity | 创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意： initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异 常 |
| PriorityQueue((Collection<? extends E>c) | 用一个集合来创建优先级队列 |
static void TestPriorityQueue(){
// 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11
PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();
// 创建一个空的优先级队列，底层的容量为initialCapacity
PriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
list.add(4);
list.add(3);
list.add(2);
list.add(1);
// 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象
// q3中已经包含了三个元素
PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);
System.out.println(q3.size());
System.out.println(q3.peek());
}注意：默认情况下，PriorityQueue队列是小堆，如果需要大堆需要用户提供比较器
// 用户自己定义的比较器：直接实现Comparator接口，然后重写该接口中的compare方法即可
class IntCmp implements Comparator<Integer>{
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2-o1;
}
}
public class TestPriorityQueue {
public static void main(String[] args) {
PriorityQueue<Integer> p = new PriorityQueue<>(new IntCmp());
p.offer(4);
p.offer(3);
p.offer(2);
p.offer(1);
p.offer(5);
System.out.println(p.peek());
}
}3.2.2. 插入/删除/获取优先级最高的元素
| 函数名 | 功能介绍 |
|---|---|
| boolean offer(E e) | 插入元素e，插入成功返回true，如果e对象为空，抛出NullPointerException异常，时 间复杂度，注意：空间不够时候会进行扩容 |
| E peek() | 获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null |
| E poll() | 移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null |
| int size() | 获取有效元素的个数 |
| void clear() | 清空 |
| boolean isEmpty() | 检测优先级队列是否为空，空返回true |
System.out.println(p.peek());
}
}
static void TestPriorityQueue2(){
int[] arr = {4,1,9,2,8,0,7,3,6,5};
// 一般在创建优先级队列对象时，如果知道元素个数，建议就直接将底层容量给好
// 否则在插入时需要不多的扩容
// 扩容机制：开辟更大的空间，拷贝元素，这样效率会比较低
PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>(arr.length);
for (int e: arr) {
q.offer(e);
}
System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数
System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素
// 从优先级队列中删除两个元素之和，再次获取优先级最高的元素
q.poll();
q.poll();
System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数
System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素
q.offer(0);
System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素
// 将优先级队列中的有效元素删除掉，检测其是否为空
q.clear();
if(q.isEmpty()){
System.out.println("优先级队列已经为空!!!");
}
else{
System.out.println("优先级队列不为空");
}
}注意：以下是JDK 1.8中，PriorityQueue的扩容方式：
private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;
private void grow(int minCapacity) {
int oldCapacity = queue.length;
// Double size if small; else grow by 50%
int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?
(oldCapacity + 2) :
(oldCapacity >> 1));
// overflow-conscious code
if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)
newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
}
private static int hugeCapacity(int minCapacity) {
if (minCapacity < 0) // overflow
throw new OutOfMemoryError();
return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?
Integer.MAX_VALUE :
MAX_ARRAY_SIZE;
}优先级队列的扩容说明：
- 如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
- 如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
- 如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容
4. 堆的应用
4.1 PriorityQueue的实现
用堆作为底层结构封装优先级队列
4.2 堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
1. 建堆
- 升序：建大堆
- 降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
public void heapSort() {
int end = usedSize-1;
while(end >= 0){
swap(elem,0,end);
shiftDown(0,usedSize);
end--;
}
}4.3 Top-k问题
TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都 不能一下子全部加载到内存中)。
最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
- 前k个最大的元素，则建小堆
- 前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
- 前k个最大的元素，则建小堆，如果比堆顶元素大，则删除堆顶元素，再插入该元素。
- 前k个最小的元素，则建大堆，如果比堆顶元素小，则删除堆顶元素，再插入该元素。
class IntCompare implements Comparator<Integer> {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2.compareTo(o1);//this.val - o.val-->大根堆，系统默认为小跟堆
}
}
public class Test {
//top-k问题
public static int[] smallestK(int[] arr, int k) {
int[] smallest = new int[k];
if(arr == null || k == 0) {
return smallest;
}
PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(k,new IntCompare());
//K*logK
for(int i = 0;i < k;i++) {
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
//(n-K)*logK
for(int i = k;i < arr.length;i++) {
if(priorityQueue.peek() > arr[i]) {
priorityQueue.poll();
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
}
for(int i = 0; i < k;i++) {
smallest[i] = priorityQueue.poll();
}
return smallest;
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1,3,5,7,2,4,6,8};
int[] ret = smallestK(arr,3);
}
}4.4 oj练习
class IntCmp implements Comparator<Integer> {
public int compare(Integer o1,Integer o2) {
return o2.compareTo(o1);
}
}
class Solution {
public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
int[] smallest = new int[k];
if(arr == null || k == 0) return smallest;
PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(k,new IntCmp());
for(int i = 0; i < k ;i++) {
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
for(int i = k;i < arr.length;i++) {
if(arr[i] < priorityQueue.peek()) {
priorityQueue.poll();
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
}
for(int i = 0; i < k; i++) {
smallest[i] = priorityQueue.poll();
}
return smallest;
}
}
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