一文图解弄懂八大常用算法思想!

百钱买百鸡问题。 该问题叙述如下:鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一;百钱买百鸡,则翁、母、雏各几何?

翻译过来,意思是公鸡一个五块钱,母鸡一个三块钱,小鸡三个一块钱,现在要用一百块钱买一百只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各多少只?

2 递 推


递推思想跟枚举思想一样,都是接近人类思维方式的思想,甚至在实际生活具有比枚举思想更多的应用场景。人脑在遇到未知的问题时,大多数人第一直觉都会从积累的「先验知识」出发,试图从「已知」推导「未知」,从而解决问题,说服自己。

事实上,这就是一种递推的算法思想。递推思想的核心就是从已知条件出发,逐步推算出问题的解。实现方式很像是初高中时我们的数学考卷上一连串的「因为」「所以」。那个时候还是用三个点来表示的。

而对于计算机而言,复杂的推导其实很难实现。计算机擅长的是执行高密度重复性高的工作,对于随机性高变化多端的问题反而不好计算。相比之下,人脑在对不同维度的问题进行推导时具有更高的自由度。

比方说,人脑可以很容易的从「太阳从东边升起」推出「太阳从西边落下」,然后大致推出「现在的时间」。但是对于计算机而言并没有那么容易,你可能需要设置一系列的限制条件,才能避免计算机推出「太阳/月亮/星星」从「南/北/东边」「落下/飞走/掉落」的可能性。

我说这个例子的用意是在说明,计算机在运用递推思想时,大多都是重复性的推理。比方说,从「今天是1号」推出「明天是2号」。这种推理的结构十分类似,往往可以通过继而往复的推理就可以得到最终的解。

递推思想用图解来表示可以参见下图。每一次推导的结果可以作为下一次推导的开始,这似乎跟迭代、递归的思想有点类似,不过递推的范畴要更广一些。

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案例

兔子问题。 一对大兔子每月能生一对小兔子,且每对新生的小兔子经过一个月可以长成一对大兔子,具备繁殖能力,如果不发生死亡,且每次均生下一雌一雄,问一年后共有多少对兔子?

3 递 归


说完递推,就不得不说说它的兄弟思想——递归算法。二者同样都带有一个「递」字,可以看出二者还是具有一定的相似性的。「递」的理解可以是逐次、逐步。在递推中,是逐次对问题进行推导直到获得最终解。而在递归中,则是逐次回归迭代,直到跳出回归。

递归算法实际上是把问题转化成规模更小的同类子问题,先解决子问题,再通过相同的求解过程逐步解决更高层次的问题,最终获得最终的解。所以相较于递推而言,递归算法的范畴更小,要求子问题跟父问题的结构相同。而递推思想从概念上并没有这样的约束。

用一句话来形容递归算法的实现,就是在函数或者子过程的内部,直接或间接的调用自己算法。所以在实现的过程中,最重要的是确定递归过程终止的条件,也就是迭代过程跳出的条件判断。否则,程序会在自我调用中无限循环,最终导致内存溢出而崩溃。

递归算法的图解可如下图。很明显,递归思想其实就是一个套娃过程。一般官方都是严禁套娃行为的。所以在使用时一定要明确「套娃」举动的停止条件,及时止损。

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案例

汉诺塔问题。 源于印度传说中,大梵天创造世界时造了三根金钢石柱子,其中一根柱子自底向上叠着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定,在小圆盘上不能放大圆盘,在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

4 分 治


分治,分而治之。

分治算法的核心步骤就是两步,一是分,二是治。但这还引申出了一系列的问题,为什么分,怎么分,怎么治,治后如何。

分治算法很像是一种向下管理的思想,从最高级层层划分,将子任务划分给不同的子模块,进而可以进行大问题的拆分,对系统问题的粒度进行细化,寻求最底层的最基本的解。这样的思路在很多领域都有运用,比如几何数学中的正交坐标、单位坐标、基的概念等,都是通过将复杂问题简化为基本的子问题,然后通过先解决子模块再逐步解决主模块。

在实际的运用中,分治算法主要包括两个维度的处理,一是自顶向下,将主要问题逐层级划分为子问题;二是自底向上,将子问题的解逐层递增融入主问题的求解中。

那为什么要分?这个很好解释,由于主要问题的规模过大,无法直接求解,所以需要对主要问题进行粒度划分。

那怎么分?遵循计算机最擅长的重复运算,划分出来的子问题需要相互独立并且与原问题结构特征相同,这样能够保证解决子问题后,主问题也就能够顺势而解。

怎么治?这就涉及到最基本子问题的求解,我们约定最小的子问题是能够轻易得到解决的,这样的子问题划分才具有意义,所以在治的环节就是需要对最基本子问题的简易求解。

治后如何?子问题的求解是为了主问题而服务的。当最基本的子问题得到解后,需要层层向上递增,逐步获得更高层次问题的解,直到获得原问题的最终解。

分治思想的图解可见下图。通过层层粒度上的划分,将原问题划分为最小的子问题,然后再向上依次得到更高粒度的解。从上而下,再从下而上。先分解,再求解,再合并。

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案例

归并排序。

5 动态规划


讲完分治,我们知道分治思想最重要的一点是分解出的子问题是相互独立且结构特征相同的。这一点并不是所有问题都能满足,许多问题划分的子问题往往都是相互重叠且互相影响的,那么就很难使用分治算法进行有效而又干净的子问题划分。

于是乎,动态规划来了。动态规划同样需要将问题划分为多个子问题,但是子问题之间往往不是互相独立的。当前子问题的解可看作是前多个阶段问题的完整总结。因此这就需要在子问题求解的过程中进行多阶段的决策,同时当前阶段之前的决策都能够构成一种最优的子结构。这就是所谓的最优化原理

最优化原理,一个最优化策略具有这样的性质,不论过去状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略。同时,这样的最优策略是针对已作出决策的总结,对后来的决策没有直接影响,只能借用目前最优策略的状态数据。这也被称之为无后效性。

动态规划是在目前看来非常不接近人类思维方式一种算法,主要原因是在于人脑在演算的过程中很难对每一次决策的结果进行记忆。动态规划在实际的操作中,往往需要额外的空间对每个阶段的状态数据进行保存,以便下次决策的使用。

动态规划的求解思路如下图解。动态规划的开始需要将问题按照一定顺序划分为各个阶段,然后确定每个阶段的状态,如图中节点的F0等。然后重点是根据决策的方法来确定状态转移方程。也就是需要根据当前阶段的状态确定下一阶段的状态。在这个过程中,下一状态的确定往往需要参考之前的状态。因此需要在每一次状态转移的过程中将当前的状态变量进行记录,方便之后的查找。

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动态规划主要就是用来解决多阶段决策的问题,但是实际问题中往往很难有统一的处理方法,必须结合问题的特点来进行算法的设计,这也是这种算法很难真正掌握的原因。

案例

背包问题。 有 n 件物品和容量为 m 的背包,给出物品的重量以及价值。求解让装入背包的物品重量不超过背包容量且价值最大 。

6 贪 心


贪心算法,我愿称之为最现实的算法思想。

人活在世上,不可能每一个选择都那么恰到好处。那么多的问题,不可能所有问题都能找到最优解。很多问题根本没有准确解,甚至于无解。所以在某些场景下,傻傻地去追求问题的最精确解是没有意义的。

有人说,那还有最优解呢。难道最优解都不要了吗?

没错,许多问题虽然找不到最精确的解,但是的确会存在一个或者一些最优解。但是一定要去追求这些最优解吗?我看不一定。

算法的存在不是单纯地为了对问题求解,更多的是提供一种「策略」。何谓「策略」,解决问题的一种方式,一个角度,一条路。所以,贪心思想是有价值的。

说回贪心算法。从贪心二字就可得知,这个算法的目的就是为了「贪图更多」。但是这种贪心是「目光短浅」的,这就导致贪心算法无法从长远出发,只看重眼前的利益。

具体点说,贪心算法在执行的过程中,每一次都会选择最大的收益,但是总收益却不一定最大。所以这样傻白甜的思路带来的好处就是选择简单,不需要纠结,不需要考虑未来。

贪心算法的实现过程就是从问题的一个初始解出发,每一次都作出「当前最优」的选择,直至遇到局部极值点。贪心所带来的局限性很明显,就是无法保证最后的解是最优的,很容易陷入局部最优的情况。

但是它每一次做选择的速度很快,同时判断条件简单,能够比较快速地给出一种差不多的解决方案。这里的图解我用下图来表示。

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这个图表示的是对多条直线的交点进行求解。很显然,上图中的直线是不存在统一交点的,但是可以通过算法求得统一交点的最优解。若是采用贪心算法,那么在进行迭代时,每一次都会选择离此时位置最近的直线进行更新。这样一来,在经过多次迭代后,交点的位置就会在某一片区域无限轮回跳转。而这片区域也就是能得出的大致的最优解区域。

案例

旅行推销员问题。 给定一系列城市和每对城市之间的距离,求访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。

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