昆明理工大学数字信号处理B实验(上)

原创已于 2024-10-12 17:11:36 修改

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#信号处理

于 2024-10-12 17:10:35 首次发布

前言

本文仅限昆明理工大学开设的数字信号处理及DSP应用的MATLAB结果分享。文章部分内容可能有错误，仅代表个人观点。

本文先探讨前三个实验研究的问题和解决过程。

实验一离散信号分析

1.1 实验目的

1.观察常用离散时间信号的图形，掌握离散时间信号的基本序列运算。

2.理解离散时间系统的时域特性，加深对离散时间系统的差分方程的理解。

1.2 实验内容

1.在给出的区间上产生并画出下面序列：

(1) $x(n)=n[u(n)-u(n-10)]+10e^{-0.3(n-10)}[u(n-10)-u(n-20)]$ , $0\leq n\leq 20$

(2) $\tilde{x}(n)=\left \{...,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,...\right \}$ , $-10\leq n\leq 9$

画两个离散时间序列，先用赋值语句设置序列，再用stem函数绘制离散时间序列。

%% 任务一

%第一问
n = 1:1:21; %设置序列x的总范围
x1_1(n) = n .* ( heaviside(n) - heaviside(n - 10) ) + 10 .* exp(-0.3 .* (n - 10)) .* (heaviside(n - 10) - heaviside(n - 20));   %设置序列x的内容

figure
subplot(2,1,1)
stem(n-1, x1_1);

%第二问

n = -10:1:9;%设置序列x的总范围
for i = n   %设置序列内容
    x1_2(i + 11) = 5 - mod(i, 5);
end

subplot(2,1,2)
stem(n, x1_2);

简单的离散时间序列绘制，不需要太多的解释，单位阶跃信号heaviside函数在今年6月的信号与系统B实验中就已经用过了，这里不多讲述。

2.给出一个简单数字微分器： $y(n)=x(n)-x(n-1)$ ，它计算输入序列的后向一阶差分。对下面三角脉冲序列实现上述微分器并求出结果。 $x(n)=n[u(n)-u(n-10)]+(20-n)[u(n-10)-u(n-20)]$

很明显，这里的简单数字微分器就是对序列x(n)进行一阶差分的运算。差分时注意序列的范围和差分区域。

%% 任务二

n = -10:1:30; n1 = -10:1:29; n2 = -9:1:30;  %设置序列x的总范围和差分范围
x2(n+11) = n .* (heaviside(n) - heaviside(n - 10)) + (20 - n) .* (heaviside(n - 10) - heaviside(n - 20));   %设置序列x的内容

figure
subplot(2,1,1)
stem(n, x2);

y(n2+11) = x2(n2+11) - x2(n1+11);
y(1) = x2(1);   %对序列进行简单数字微分（一阶差分）

subplot(2,1,2)
stem(n, y);

差分对于离散时间信号就是微分对于连续时间信号。差分也分为向前差分、向后差分和中心差分，题目给出的要求是当前项减前项，属于是向后差分。向前差分是后项减当前项、中心差分是后项减前项再除以2.

1.3 实验步骤

1. 实验内容1的程序运行结果如下图所示：

2. 实验内容2的程序运行结果如下图所示：

这两部分就不展示了，与本人画出的结果大同小异。

1.4 实验思考题

1. 分析单位脉冲序列和单位阶跃序列的特点，使用它们描述离散时间信号，各有什么好处？

单位脉冲序列代表瞬态特性，单位阶跃信号代表持续特性。利用单位脉冲信号描述离散时间信号，可以了解系统的线性特性、稳定性以及动态性能；利用单位阶跃信号输入到离散时间系统中，可以通过其响应了解系统的稳态特性和动态性能。

2. 简述序列的加法、乘法、移位、点乘等运算的计算过程。

序列的加法和点乘遵循按位相加或相乘的原则。序列的位移是指序列中的所有项向左或向右移动固定的位数。序列的乘法即是序列的卷积和。

实验二信号采样

2.1 实验目的

1.验证奈奎斯特采样定理。

2.加深对时域取样后信号频谱变化的认识。

2.2 实验内容

假设有模拟信号为： $x_{a}(t)=cos(20\pi t), 0\leq t\leq 1$ ，如果以 $Ts=0.01s$ ， $Ts=0.05s$ 和 $Ts=0.1s$ 的时间间隔进行采样，可以得到 $x(n)$ 。

1.针对每一个 $Ts$ 取值，画出相应的 $x(n)$ 。

模拟信号在MATLAB中可以理解成是函数。因此利用syms函数定义模拟信号 $x_{a}(t)$ ，在通过不同的采样频率得到不同的取值。

%% 起始

dt = 0.001; dt1 = 0.01; dt2 = 0.05; dt3 = 0.1;  %设置取样周期
syms t;
x(t) = cos(20 .* pi .* t);  %设置函数

figure
subplot(4,1,1);
fplot(t, x, [0 1])
title("原函数")


%% 任务一

%取样周期0.01秒
subplot(4,1,2)
hold on
title("取样周期0.01秒")
fplot(t, x, [0 1])
for i = 0:dt1:1
    plot(i, x(i), 'ro');
    x1(fix(i / dt1 + 1)) = double(subs(x, t, i));
end

hold off

%取样周期0.05秒
subplot(4,1,3)
hold on
title("取样周期0.05秒")
fplot(t, x, [0 1])
for i = 0:dt2:1
    plot(i, x(i), 'ro');
    x2(fix(i / dt2 + 1)) = double(subs(x, t, i));
end

hold off

%取样周期0.1秒
subplot(4,1,4)
hold on
title("取样周期0.1秒")
fplot(t, x, [0 1])
for i = 0:dt3:1
    plot(i, x(i), 'ro');
    x3(fix(i / dt3 + 1)) = double(subs(x, t, i));
end

hold off

这里为了看得清楚，先把原函数图像输出，再通过打圈来标识，得到输出结果：

2.采用sinc内插（用 $\Delta t=0.001s$ ）从样本 $x(n)$ 重建模拟信号 $y_{a}(t)$ 。

sinc函数与Sa函数表达式相同， $sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$ 。由于sinc函数在时域上是无限长的，实际使用中需要截断。可以简单的for循环暴力插值，高级一点的可以用矢量化和FFT快速傅里叶变换求解。

%% 任务二

ct = 0:dt:1;
n1 = 0:1/dt1; n2 = 0:1/dt2; n3 = 0:1/dt3;
y1 = zeros(size(ct)); y2 = zeros(size(ct)); y3 = zeros(size(ct));   %初始化函数
for i = 1:length(ct)    %利用sinc进行差值
    y1(i) = sum(x1 .* sinc((ct(i) - n1*dt1) / dt1));
    y2(i) = sum(x2 .* sinc((ct(i) - n2*dt2) / dt2));
    y3(i) = sum(x3 .* sinc((ct(i) - n3*dt3) / dt3));
end

figure
subplot(3,1,1)
plot(ct, y1)
title("取样周期0.01秒重建模拟")

subplot(3,1,2)
plot(ct, y2)
title("取样周期0.05秒重建模拟")

subplot(3,1,3)
plot(ct, y3)
title("取样周期0.1秒重建模拟")

这样的运算结果与预期相差的有点大，但是也确实是验证了奈奎斯特采样定理：

2.3 实验步骤

1. 实验内容1的程序运行结果如下图所示：

2. 实验内容2的程序运行结果如下图所示：

由于内容2的结果与预期相差较大，因此放出内容2的预期效果。预期效果可能是用矢量优化的FFT做的，适合数据量大的sinc插值。

2.4 实验思考题

1. 在分析理想采样的实验中，当采样频率不同时，得到的采样序列有何差异？

当采样频率足够高时，采样序列能够较好地保留原始序列的特征，但是能量消耗大；当采样频率降低时，采样序列可能无法准确反映原始序列的高频成分，导致频谱混叠现象加剧，序列完整性受损。

2. 理想采样有哪些局限性，在实际应用中如何进行修正？

首先是存在高频噪声，受到了奈奎斯特采样定理的约束，采样频率应不小于信号最高频率的两倍，采样能量受到限制；由此获得的理想信号数据量大，存储与传输受到限制

实验三离散信号的卷积运算

3.1 实验目的

1.理解线性卷积和，掌握线性卷积和的求解方法。

2.理解循环卷积和，掌握循环卷积和的求解方法并对照线性卷积比较二者异同。

3.2 实验内容

1. 求序列 $x_{1}(n)=0.8^{n}(0\leq n\leq 9)$ ， $x_{2}(n)=\delta (n)+\delta (n-2)$ 的线性卷积，并用stem函数作图。

卷积的运算，包括卷积和与卷积积分的运算在MATLAB中都能用conv函数实现，在今年6月的信号与系统B实验中就已经用过了，这里不多讲述。单位冲激序列也还是用布尔型转数值得到的。

%% 任务一

n1 = 0:1:9; n2 = 0:1:3; nq = 0:1:12;    %设置长度
x1_1(n1+1) = 0.8 .^ n1;
x1_2(n2+1) = (n2 == 0) + (n2 == 2); %设置序列内容
x1 = conv(x1_1, x1_2);  %线性卷积

figure
subplot(3,1,1)
stem(n1, x1_1);
axis([-1 10 -0.1 1.1])
title('序列x1(n)')

subplot(3,1,2)
stem(n2, x1_2);
axis([-1 4 -0.1 1.1])
title('序列x2(n)')

subplot(3,1,3)
stem(nq, x1);
axis([-1 13 -0.1 2.1])
title('线性卷积结果')

注意卷积前后的序列长度，还是很容易的。

2. 求序列 $x_{1}(n)=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}(0\leq n\leq 4)$ 和 $x_{2}(n)=\left \{ -1,3,0,-2,-2,1 \right \}(0\leq n\leq 5)$ 的线性卷积和6点、10点以及12点循环卷积，画出线图并总结出线性卷积和循环卷积的关系。

循环卷积是周期卷积的一种。不同于线性卷积，循环卷积考虑到的周期信号的周期边界，更适合处理周期性信号。通常可以利用DFT的循环卷积性质，计算DFT来实现循环卷积。

%% 任务二

x2_1(1:5) = [1 2 3 4 5];
x2_2(1:6) = [-1 3 0 -2 -2 1];   %设置序列内容
y2 = conv(x2_1, x2_2);  %线性卷积

yc6 = ifft(fft(x2_1, 6) .* fft(x2_2, 6));   %6点循环卷积
yc10 = ifft(fft(x2_1, 10) .* fft(x2_2, 10));%10点循环卷积
yc12 = ifft(fft(x2_1, 12) .* fft(x2_2, 12));%12点循环卷积

figure
subplot(2,3,1)
stem(1:5, x2_1);
axis([0 6 0 6])
title('序列x1(n)')

subplot(2,3,2)
stem(1:6, x2_2);
axis([0 7 -3 5])
title('序列x2(n)')

subplot(2,3,3)
stem(1:10, y2);
axis([0 11 -16 16])
title('线性卷积结果')

subplot(2,3,4)
stem(1:6, yc6);
axis([0 7 -16 16])
title('6点循环卷积结果')

subplot(2,3,5)
stem(1:10, yc10);
axis([0 11 -16 16])
title('10点循环卷积结果')

subplot(2,3,6)
stem(1:12, yc12);
axis([0 13 -16 16])
title('12点循环卷积结果')

循环卷积结果序列的长度是可以指定的：n点循环卷积的结果序列长度就是n。