深入理解埃拉托色尼筛法与线性筛法

在计算素数的过程中，有两种经典的筛法：埃拉托色尼筛法（简称埃筛）和线性筛法（简称线筛）。它们都是用于在给定的范围内找到所有素数的高效算法。本文将通过示例代码，详细对比这两种方法的原理、实现及其时间复杂度。

1. 埃拉托色尼筛法

原理概述

埃拉托色尼筛法的基本思想是通过不断标记合数来筛选出素数。具体来说，对于每一个素数 p，从 p*p 开始标记所有的倍数为非素数，因为更小的倍数已经在之前被标记过。

代码实现

以下是埃筛法的 C++ 实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> isPrime(n + 1, 1);  // 初始化所有数为素数
    isPrime[0] = isPrime[1] = 0;    // 0 和 1 不是素数

    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {  // 从 2 开始到 sqrt(n)
        if (isPrime[i]) {  // 如果 i 是素数
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {  // 标记 i 的所有倍数为非素数
                isPrime[j] = 0;
            }
        }
    }

    // 输出所有素数
    for (int