[AcWing算法基础课]动态规划之01背包

题目链接：01背包

        有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

        首先，我们应该找到“01背包”问题的一个特点就是每件物品只能使用一次。 对于每一个物品，我们只需要考虑“选”或“不选”，这可能就是名字的来源吧。

        “01背包”问题适合使用动态规划算法解决，也就是“记住求过的解来节省时间”。

        下面先给出“01背包”问题的模板：

    // v[i]->体积  w[i]->价值 
    // f[i][j] 放入第i个物体,背包容量为j时的总价值

    for(int i = 1;i <= n;i++){  //动态规划
        for(int j = 0;j <= m;j++){
            if(v[i] <= j){
                f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }

    int res = 0;  //最优解
    for(int j = 0;j <= m;j++){
        res = max(res,f[n][j]);
    }

        接下来给大家举一个例子演示一下，方便大家理解。

        我们假设有4个物品，并把每一个物品响应的体积和价值标注出来（下图的左侧），然后设置书包的体积为5。大家应该可以发现：

• 放入0个物品时，无论体积为多少，价值都为0。所以第一行全部填0。
• 当书包的体积为0时，不能放入任何物品，价值也都为0。所以第一列全部填0。

        接下来看放入第1个物品会发生什么变化，也就是完善第二行 。

        便于理解的解释：第1个物品的体积为1，价值为2。当书包体积 j = 1时， j = v [ i ]，可以放入第1个物体，故此时书包的价值为2。当书包体积 j > 1时， j > v [ i ]，都可以放入第1个物体，故此时书包的价值仍然为2。第二行填完了。

        基于代码的解释：当书包体积 j = 1时，我们考虑是否放入第1个物品：

• 不放入，那么书包的价值 f [1][1] 和 f [0][1]相同。（没放入任何物品，无论书包体积为多少，书包的价值都为0）。
• 放入，那么书包的价值 f [1][1] 就应该看放入第0个物品，书包的体积为1减去第1个物品的体积1时，书包的价值（1 - 1 = 0）。简单来说，现在书包的体积（j = 1）减去第1 个物品的体积 （v [1] = 1）应该等于放入第0个物品时书包的体积（j - v [1] = 1 - 1 = 0）。只有放入第0个物体，书包体积为0时，我才能在书包体积为1时放入第1个物体，否则放不下。

        对于这两种情况，我们应该选择最优的方法，也就是比较这两种方法的价值，取最大值。

        接下来看放入第2个物品会发生什么变化，也就是完善第三行 。

        接下来看放入第3个物品会发生什么变化，也就是完善第四行 。

        接下来看放入第3个物品会发生什么变化，也就是完善第四行 。 

        以上就是动态规划的“01背包”求解过程，大家多模拟几遍肯定会有更多的感悟！

        希望大家学有所获！