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二分介绍
什么是二分查找？
二分查找（Binary Search），也叫折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的高效搜索算法。
基本原理
- 它每次比较中间元素与目标元素的大小关系，若中间元素等于目标元素，则查找成功；若中间元素大于目标元素，则在数组的左半部分继续查找；若中间元素小于目标元素，则在数组的右半部分继续查找。
- 不断重复这个过程，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在为止。
适用条件
- 数据结构必须是有序的，比如升序或降序排列的数组。
时间复杂度
- 其时间复杂度为O(log n)，这里的n是数组中元素的个数。相比于顺序查找的O(n)时间复杂度，在数据量较大时，二分查找效率优势明显。
示例
例如有一个升序排列的数组[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]，要查找元素7。
- 首先，取中间元素（这里是第4个元素）即7，刚好与目标元素相等，查找成功。
- 若查找元素2，第一次取中间元素7，因为2小于7，就在左半部分[1, 3, 5]继续查找，再取中间元素3，2小于3，继续在左半部分也就是只有元素1的部分查找，没找到就确定2不存在于这个数组中。
题目练习
1.二分查找
给定一个
n个元素有序的（升序）整型数组nums和一个目标值target，写一个函数搜索nums中的target，如果目标值存在返回下标，否则返回-1。
示例 1:输入:nums= [-1,0,3,5,9,12],target= 9 输出: 4解释: 9 出现在
nums中并且下标为 4示例 2:输入:
nums= [-1,0,3,5,9,12],target= 2 输出: -1解释: 2 不存在
nums中因此返回 -1
a. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。b. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：i. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1 ，然后重复 2 过程；c. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
int mid;
//当两指针相交时，该元素还没有判断，因此要取等号
while (left <= right)
{
mid = left + (right - left) / 2;//防止溢出
if (nums[mid] == target) return mid;
else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
else if (nums[mid] > target) right = mid - 1;
}
//出来了说明没有找到target
return -1;
}
};2.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组
nums，和一个目标值target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值
target，返回[-1, -1]。你必须设计并实现时间复杂度为
O(log n)的算法解决此问题。示例 1：输入：nums = [
5,7,7,8,8,10], target = 8 输出：[3,4]示例 2：输入：nums = [
5,7,7,8,8,10], target = 6 输出：[-1,-1]示例 3：输入：nums = [], target = 0 输出：[-1,-1]
思路解法：
1.暴力解法
2.优化，二段性
⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个区间，然后再另⼀个区间内查找；
寻找左边界：
左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；
右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；
当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置， 继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。 说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；
注意：这⾥找中间元素需要向下取整。左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left ， right ， mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
if (nums.size() == 0) return { -1, -1 };
int begin = 0;//用来记录最左端
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
else right = mid;
}
//判断是否有结果
if (nums[left] != target) return { -1, -1 };
else begin = left;
//2.确定右端点
left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1) / 2;
if (nums[mid] <= target) left = mid;
else right = mid - 1;
}
return { begin,right };
}
};3.搜索插入位置
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为
O(log n)的算法。示例 1:输入: nums = [1,3,5,6], target = 5 输出: 2
示例 2:输入: nums = [1,3,5,6], target = 2 输出: 1
示例 3:输入: nums = [1,3,5,6], target = 7 输出: 4
当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left, mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid + 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是 left == right 的时候， left 或者 right 所在的位置就是我们要找的结果。
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
else right = mid;
}
if (nums[right] < target) return right + 1;
return right;
}
};4.x的平方根
给你一个非负整数
x，计算并返回x的 算术平方根 。由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如
pow(x, 0.5)或者x ** 0.5。示例 1：输入：x = 4 输出：2
示例 2：输入：x = 8 输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
暴力：如果 i * i == x ，直接返回 x ；如果 i * i > x ，说明之前的⼀个数是结果，返回 i - 1 。由于 i * i 可能超过 int 的最⼤值，因此使⽤ long long 类型。（这⾥没有必要研究是否枚举到 x / 2 还是 x / 2 + 1 。因为我们找到结果之后直接就返回 了，往后的情况就不会再判断。）二分：[0, index] 之间的元素，平⽅之后都是⼩于等于 x 的；[index + 1, x] 之间的元素，平⽅之后都是⼤于 x 的。
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
//由于两个较大的数相乘可能会超过 int 最大范围 用long long
long long i = 0;
for (i = 0; i <= x; i++)
{
if (i * i == x) return i;
//如果第一次出现两个数相乘大于x，则说明就是这个数
if (i * i > x) return i - 1;
}
return -1;
}
};class Solution
{
public:
int mySqrt(int x)
{
if(x < 1) return 0; // 处理边界情况
int left = 1, right = x;
while(left < right)
{
long long mid = left + (right - left + 1) / 2; // 防溢出
if(mid * mid <= x) left = mid;
else right = mid - 1;
}
return left;
}
};5.山峰数组的峰顶
给定一个长度为
n的整数 山脉 数组arr，其中的值递增到一个 峰值元素 然后递减。返回峰值元素的下标。
你必须设计并实现时间复杂度为
O(log(n))的解决方案。示例 1：输入：arr = [0,1,0] 输出：1
示例 2：输入：arr = [0,2,1,0] 输出：1
示例 3：输入：arr = [0,10,5,2] 输出：1
解法思路：
如果不关心时间复杂度的话，直接暴力遍历一遍就行。但是题目要求是logN，所以我们可以采用二分法。
此数组可以分成三个阶段，递增，峰值，递减，我们可以一直往里夹。这里需要注意的是，我们怎么来去中间值，mid = left + (right - left) / 2，该不该加一？就看我们需要左边还是右边，如果需要mid在左边，那么就不用加1，如果是需要mid 在右边，那么就要加1。还有就是要处理细节，会不会出现死循环的情况。
如果 mid 位置呈现上升趋势，说明我们接下来要在 [mid + 1, right] 区间继续搜索；如果 mid 位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在 [left, mid - 1] 区间搜索；如果 mid 位置就是山峰，直接返回结果。
class Solution {
public:
int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
//必须是有峰值，两边满足递增递减，倒数第二个一定比最后一个大
int left = 0, right = arr.size() - 2;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1) / 2;
if (arr[mid] > arr[mid - 1]) left = mid;
else right = mid - 1;
}
return left;
}
};class Solution {
public:
int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
int left = 1, right = arr.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (arr[mid] < arr[mid + 1]) left = mid + 1;
else right = mid;
}
return right;
}
};6.寻找峰值
峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。
给你一个整数数组
nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。你可以假设
nums[-1] = nums[n] = -∞。你必须实现时间复杂度为
O(log n)的算法来解决此问题。示例 1：输入：nums =
[1,2,3,1]输出：2解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。
示例 2：输入：nums =
[1,2,1,3,5,6,4] 输出：1 或 5解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2； 或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。
arr[i] > arr[i + 1] ：此时「左侧区域」⼀定会存在山峰（因为最左侧是负无穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；arr[i] < arr[i + 1] ：此时「右侧区域」⼀定会存在山峰（因为最右侧是负无穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。当我们找到「⼆段性」的时候，就可以尝试用【二分查找】算法来解决问题。
class Solution {
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] > nums[mid + 1]) right = mid;
else left = mid + 1;
}
return left;
}
};7.搜索旋转排序数组中的最小值
153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）
已知一个长度为
n的数组，预先按照升序排列，经由1到n次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组nums = [0,1,2,4,5,6,7]在变化后可能得到：
- 若旋转
4次，则可以得到[4,5,6,7,0,1,2]- 若旋转
7次，则可以得到[0,1,2,4,5,6,7]注意，数组
[a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]]旋转一次 的结果为数组[a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]]。给你一个元素值 互不相同 的数组
nums，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。你必须设计一个时间复杂度为
O(log n)的算法解决此问题。示例 1：输入：nums = [3,4,5,1,2] 输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。
示例 2：输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2] 输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 3 次得到输入数组。
示例 3：输入：nums = [11,13,15,17] 输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。
当 mid 在 [A ， B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格⼤于 D 点的值，下⼀次查询区间在 [mid + 1 ， right] 上；当 mid 在 [C ， D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格⼩于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left ， mid] 上。
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
int x = nums[right];//记录最后一个位置的元素
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] > x) left = mid + 1;
else right = mid;
}
return nums[left];
}
};8.0~n-1 中缺失的数字《剑指Offer 53》
某班级 n 位同学的学号为 0 ~ n-1。点名结果记录于升序数组
records。假定仅有一位同学缺席，请返回他的学号。示例 1:输入: records = [0,1,2,3,5] 输出: 4
示例 2:输入: records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8] 输出: 7
思路解法：
因为学号都是排序好了，如果下标和学号对不上，则说明出现了问题，就需要找源头。
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records) {
int left = 0, right = records.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (records[mid] == mid) left = mid + 1;
else right = mid;
}
return left == records[left] ? left + 1 : left;
}
};
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