C++前缀和神技：区间问题瞬杀模板 -优快云博客

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🔥 前缀和核心价值

暴力法的痛点：
// 计算区间和，时间复杂度O(n)  
int sum = 0;  
for(int i=l; i<=r; i++) sum += arr[i]; 
前缀和优势：将区间查询复杂度从 O(n) 降为 O(1)，处理海量数据时性能炸裂！

🌟 一维前缀和模板

1. 预处理公式

prefix[i] = prefix[i-1] + arr[i]  
区间和公式：sum(l, r) = prefix[r] - prefix[l-1]

2. 代码实现

vector<int> arr = {3, 1, 4, 2, 5};  
int n = arr.size();  

// 前缀和数组（从1开始存储）  
vector<int> prefix(n+1, 0);  
for(int i=1; i<=n; i++) {  
    prefix[i] = prefix[i-1] + arr[i-1]; // arr索引注意-1  
}  

// 查询区间[2,4]的和（对应原数组索引1~3）  
int l=2, r=4;  
int sum = prefix[r] - prefix[l-1]; // 4+2+5=11

3. 动态图示

原数组索引：0  1  2  3  4  
原数组值： 3  1  4  2  5  
前缀和数组：0  3  4  8 10 15  

查询[2,4] → prefix[4] - prefix[1] = 10 - 3 = 7 ❌  
正确对应：原数组索引1~3 → 前缀和[2,4] → 10 - 3 = 7  
（注意索引转换的细节！）

📦 二维前缀和模板

1. 预处理公式

prefix[i][j] = prefix[i-1][j] + prefix[i][j-1] - prefix[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1]  
区间和公式：sum(x1,y1,x2,y2) = prefix[x2][y2] - prefix[x1-1][y2] - prefix[x2][y1-1] + prefix[x1-1][y1-1]

2. 代码实现

vector<vector<int>> matrix = {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}};  
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();  

vector<vector<int>> prefix(m+1, vector<int>(n+1, 0));  
for(int i=1; i<=m; i++){  
    for(int j=1; j<=n; j++){  
        prefix[i][j] = prefix[i-1][j] + prefix[i][j-1] - prefix[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1];  
    }  
}  

// 查询子矩阵和 (x1,y1)=(2,2) 到 (x2,y2)=(3,3)  
int sum = prefix[3][3] - prefix[1][3] - prefix[3][1] + prefix[1][1];  
// 对应原矩阵的右下角4个元素：5+6+8+9=28

3. 二维示意图

原矩阵：  
1 2 3  
4 5 6  
7 8 9  

前缀和矩阵（带虚拟边界）：  
0  0  0  0  
0  1  3  6  
0  5 12 21  
0 12 27 45  

查询(2,2)-(3,3)区域：  
prefix[3][3] - prefix[1][3] - prefix[3][1] + prefix[1][1]  
=45 - 6 - 12 + 1 = 28