算法高手必备：C++背包九讲终极模板-优快云博客

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🌟 背包问题核心思想

状态定义：dp[i][j] 表示前i个物品，在容量j的限制下获得的最大价值
核心方程：dp[i][j] = max(选当前物品策略，不选策略)
空间优化：绝大多数情况可用一维数组倒序遍历实现

📌 0-1背包模板

特点：每个物品只能选0/1次
倒序遍历容量是关键！

vector<int> dp(bagSize + 1);
for(int i = 0; i < n; ++i){
    for(int j = bagSize; j >= weight[i]; --j){
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

🔄 完全背包模板

特点：物品无限次选取
正序遍历实现重复选择

vector<int> dp(bagSize + 1);
for(int i = 0; i < n; ++i){
    for(int j = weight[i]; j <= bagSize; ++j){
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

🎲 多重背包模板

特点：物品最多选k次 ▶️ 二进制优化版本

// 二进制拆分预处理
vector<int> new_weights, new_values;
for(auto &item : items){
    int cnt = item.max_count;
    for(int k=1; k<=cnt; k*=2){
        new_weights.push_back(item.weight * k);
        new_values.push_back(item.value * k);
        cnt -= k;
    }
    if(cnt > 0){
        new_weights.push_back(item.weight * cnt);
        new_values.push_back(item.value * cnt);
    }
}

// 0-1背包过程（略）

🧩 混合背包模板

特点：0-1/完全/多重混合 ▶️ 类型判断+分支处理

for(每个物品){
    if(0-1背包类型)
        倒序遍历容量
    else if(完全背包)
        正序遍历容量
    else if(多重背包)
        二进制拆分后按0-1处理
}

🌐 二维费用背包模板

特点：同时限制重量/体积两个维度

vector<vector<int>> dp(weightSize+1, vector<int>(volumeSize+1));
for(int i=0; i<n; ++i){
    for(int j=weightSize; j>=weight[i]; --j){
        for(int k=volumeSize; k>=volume[i]; --k){
            dp[j][k] = max(dp[j][k], 
                          dp[j-weight[i]][k-volume[i]] + value[i]);
        }
    }
}

🎯 恰好装满问题

初始化技巧：

dp[0] = 0;          // 初始状态合法
for(int i=1; i<=bagSize; ++i) 
    dp[i] = -INF;   // 非法状态

📊 方案数统计模板

递推式：dp[j] += dp[j - weight[i]]

vector<int> dp(bagSize+1, 0);
dp[0] = 1; // 初始方案数
for(int i=0; i<n; ++i){
    for(int j=bagSize; j>=weight[i]; --j){
        dp[j] += dp[j - weight[i]];
    }
}