差分矩阵问题

差分矩阵

原题再现

输入一个 n 行 m列的整数矩阵，再输入 q个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c
。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

思路

1维的差分

我们先来看1维的差分

我们要实现一维的数据的差分，就先拿来一个一维数组a，比如长度为m的数组，需要实现下标从c0到c1这个区间都加上c，此时我们可以构建一个差分数组b，使得a数组是b数组的前缀和，那么可得以下公式
a_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n
那么可得将一维数组a从c0到c1加上c就可以认为是在b数组的b_c0 + c
而b_c1 - c ,如此可得新的b数组，将b数组求前缀和即可得到a数组从c0到c1这个区间加上c

二维的差分

我们再来看二维的差分

我们要求m x n维矩阵 (x₁,y₁) - (x₂,y₂)围成矩阵a的所有数 + c，此时我们可以安装一维数组的思路来做题，构建出二维差分数组b,此时a矩阵围成矩阵 + c在b矩阵就表现为
b(x₁,y₁) + c
b(x₁,y₂ + 1) - c
b(x₂ + 1,y₁) - c
b(x₂ + 1，y₂ + 1) + c

如此我们可以得到a矩阵的划分矩阵 + c的解决方法，就是按照上述步骤给b矩阵进行操作即可得到最终操作完成后a矩阵的差分矩阵b，再将b矩阵进行前缀和即可得到新的a矩阵，此时a矩阵就是题目所要求的矩阵输出即可。

至于差分矩阵的构建，将a和b矩阵都看作是0矩阵，然后按照以上所给的公式，依次将a矩阵的值当作c，对b矩阵操作即可，最终可得到b矩阵。

参数如下：
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1`
代码如下：

public class Main{
    public static void main(String[] args){
        try{
         BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
            int n = 3;
            int m = 4;
            int q = 3；
            
            int[][] con = new int[3][4];
            int[][] cha = new int[3][4];
            
            for(int i = 1;i <= n;i++){
                String[] b = bf.readLine().split(" ");
                for(int j = 1; j <= m;j++){
                    con[i][j] = Integer.parseInt(b[j - 1]);
                }
            }
            
            for(int i = 1;i <= n;i++){
                for(int j = 1;j <= m;j++){
                    insert(cha,i,j,i,j,con[i][j]);
                }
            }
			while((q--) > 0){
                String[] c = bf.readLine().split(" ");
                int x1 = Integer.parseInt(c[0]);
                 int y1 = Integer.parseInt(c[1]);
                int x2 = Integer.parseInt(c[2]);
                 int y2 = Integer.parseInt(c[3]); 
                 int d = Integer.parseInt(c[4]);
                 
                 insert(cha,x1,y1,x2,y2,d);
            }
            
            for(int i = 1;i <= n;i++){
                for(int j = 1;j <= m;j++){
                    cha[i][j] += cha[i - 1][j] + cha[i][j - 1] - cha[i - 1][j - 1];
                }
            }
            
             for(int i = 1;i <= n;i++){
                for(int j = 1;j <= m;j++){
                    System.out.print(cha[i][j] + " ");
                }
                 System.out.println();
            }
        }catch(Exception e){
            e.printStackTrace();
        }
    }
 public static void insert(int[][] cha,int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
        cha[x1][y1] += c;
        cha[x2 + 1][y1] -= c;
        cha[x1][y2 + 1] -= c;
        cha[x2 + 1][y2 + 1] += c;
    }
}