每日一题(18)——买书问题（动态规划）

最新推荐文章于 2024-09-11 18:57:44 发布

小熊不去实验室

最新推荐文章于 2024-09-11 18:57:44 发布

阅读量2k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/yangtrees/article/details/8238467

算法同时被 2 个专栏收录

46 篇文章

订阅专栏

动态规划

7 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一个关于买书折扣的问题，通过分析得出贪心策略在此问题上不可行，转而采用动态规划方法。动态规划的核心是找到递归公式，并建立状态转移方程，以计算购买不同数量书籍的最低价格。文中还提供了动态规划的源码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一，问题

上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

本数 2 折扣 5%

本数 3 折扣 10%

本数 4 折扣 20%

本数 5 折扣 25%

买书的需求一定，但通过不同的买书组合，能买到不同的折扣。

问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

二，问题分析：

贪心策略

当书的数目N<5时，直接按照折扣购买

当书的数目N>5时，情况如下：

依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析

先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买

其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买

再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买

最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买

剩下的书则按照全价购买。

如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。

结论：贪心策略不可取

动态规划

要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。

五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递增（递减），从而方便讨论。

要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。

状态转移方程：

（X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。其中，X1 < X2 < X3 < X4 < X5

F（X1，X2，X3，X4，X5）=0 ；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）

F（X1，X2，X3，X4，X5）= min{

5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //参数全部 > 0

4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //x2 > 0

3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1） //x3 > 0

2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1） //x4 > 0

8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1） //x5 > 0

}

三，动态规划源码：

源码：

#include<stdlib.h>  
#include <iostream>
#include <random>  
using namespace std;
#define random(x) (rand()%x)  
const int large = 10000;
int countRE=0,countDP=0;//利用动态规划能少递归多少次，计数
double S[10][10][10][10][10];

template<typename T>
void reRank(T m[], int length) //insert sort
{
// 	for (int i=0; i<length; i++) cout<<m[i]<<" ";
// 	cout<<endl;
	for (int i=1; i<length; i++)
	{
		T tmp=m[i];//很重要;
		int j;
		for ( j=i-1; j>=0&&tmp<m[j]; j--)
		{
			m[j+1]=m[j];
		}
		m[j+1]=tmp;
	}
//	for (int i=0; i<length; i++) cout<<m[i]<<" ";
}

double findMin(double t1,double t2,double t3,double t4,double t5)
{
	double n[5]={t1,t2,t3,t4,t5};
	reRank(n,5);
	return n[0];
}

double BestBuy(int x1, int x2, int x3, int x4, int x5)
{
	countRE++;
	int i;
	int n[5] ={ x1, x2, x3, x4, x5 };
	reRank(n,5);
	x1=n[0];
	x2=n[1];
	x3=n[2];
	x4=n[3];
	x5=n[4];
	if(S[x1][x2][x3][x4][x5]>0) return S[x1][x2][x3][x4][x5];
	countDP++;
	/* x1 < x2 < x3 < x4  < x5*/ 
	if (n[0]>0)
	{
		double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
			2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
			3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1),
			4 * 8 * 0.8 + BestBuy(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1), 
			5 * 8 * 0.75 + BestBuy(x1-1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1) );
		S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
		return solution;
	}
	else if ((n[0] == 0) && (n[1] > 0)) 
	{
		double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
			2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
			3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1),
			4 * 8 * 0.8 + BestBuy(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1), large );
		S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
		return solution;
	}
	else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) &&(n[2]>0)) 
	{
		double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
			2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
			3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1), large, large );
		S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
		return solution;
	}
	else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] > 0)) 
	{
		double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
			2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1), large, large, large );
		S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
		return solution;
	}
	else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] == 0) && (n[4] > 0)) 
	{
		double solution = 8.0 + BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1); 
		S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
		return solution;
	}
	else
	{
		S[x1][x2][x3][x4][x5] =0;
		return 0;
	}
}

int main()
{
	int N=5;
	int a[10];
	memset(S,0,sizeof(S));
	for(int i=0; i<N; i++) {a[i] = random(10); cout<<a[i]<<" ";}
	cout<<endl;
	cout<<BestBuy(a[0],a[1],a[2],a[3],a[4])<<endl;
	for(int i=0; i<N; i++) cout<<a[i]<<" ";
	cout<<endl;
	cout<<"递归次数： "<<countRE<<endl;
	cout<<"动态规划 递归计算次数： "<<countDP<<endl;
}

用一个5维的S数组保存中间结果，需要的额外空间比较大。