序列补零、插值后对ＦＦＴ变换的影响以及频率分辨率的理解

ＤＴＦＴ、ＤＦＴ、ＦＦＴ的区别与联系

ＤＴＦＴ（离散时间傅立叶变换）顾名思义是对离散的时间序列进行的傅立叶变换；假设有一连续的信号为x(t)，对其进行傅立叶变换的定义式为：

对连续信号x(t)进行抽样后再进行傅立叶变换的公式变为：

x(nTs)可以表示为x[n]，数字角频率w=ΩTs，上式简化为：

上式即为DTFT的定义式，根据推导过程揭示了其与FT的关系。根据抽样定理我们知道对连续信号进行抽样，其频谱会以Ws进行搬移。DTFT的数字角频率是对模拟角频率的归一化处理得到的（与采样周期Ts相乘），所以DTFT的频谱是以2pi为周期的连续谱。

由于计算机处理的数据都是离散的，所以我们不仅要求信号为离散的，还要求频谱是离散的，所以我们还要对频谱进行采样即DFT。其定义式为：

所以DFT是对DTFT的频谱采样，至于FFT则是DFT的快速算法。

频率分辨率

我们在对DTFT的频谱进行采样后自然会涉及到分辨率这个问题，频率分辨率的计算公式为：

由于DFT是对DTFT频谱的采样，所以我们往往会认为频率分辨率与采样的点数即N有关，即采样点数越多，频率分布越密集，分辨率越高。而实际上对采集到的信号序列进行“高密度”的FFT变换时（即FFT变换的点数大于信号的点数），只是将确定的频谱分割的细一点，不能区分的频率仍旧不能区分。真正与频率的分辨能力有关的应该是谱线的宽度！我们用matlab显示频谱的时候，如果没有放大，几乎看不出谱线宽度的区别，实际上我们对任何信