HDOJ 1098 Ignatius's puzzle（数学）

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本文通过详细解析一道数学难题，使用二项式定理，推导出求解最小满足特定条件的整数a的方法。包括求解过程、AC代码以及实例验证。

【题意+题解+代码】：http://blog.youkuaiyun.com/iamskying/article/details/4737920 很详细。

求解思路：

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;

其中题中"f(x)|65"表示对于任意的整数x,f(x)都能被65整除.所以不难推断:f(x+1)|65也成立.

f(x+1)=5*(x+1)^13+13*(x+1)^5+k*a*(x+1),

根据二项式定理:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n

得：f(x+1)=5*(C(13,0)+C(13,1)*x+C(13,2)*x^2+...+C(13,13)*x^13) + 13*(C(5,0)+C(5,1)*x+...+C(5,5)*x^5) + k*a*(x+1);

从中提取出f(x)后得：

f(x+1)=f(x)+5*(C(13,0) + C(13,1)*x+C(13,2)*x^2+...+C(13,12)*x^12) + 13*(C(5,0)+C(5,1)*x+...+C(5,4)*x^4) + k*a;

不难看出出了5*C(13,0) 、13*C(5,0)和k*a三项以外，其他项无论x取任意整数都能被65整除,所以如果5*C(13,0) +13*C(5,0)+k*a(相当于18+k*a)能被65整除的话，就可以得出f(x+1)|65了。

再验证一下f(1)=5+13+k*a=18+k*a同样适用。

所以最终的问题就是给定一个非负整数k,使得(18+k*a)|65,输出满足此条件的最小的非负整数a。

【AC代码】：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */

int main(int argc, char** argv) {
	
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	//freopen("out.txt", "w", stdout);
	int k = 0;
	while (cin >>k)
	{
		int i = 0;
		for (i = 0; i < 65; i++)
		{
			if (0==(18+k*i)%65)
			{
				cout << i << endl;
				break;		
			}
		}
		if (65==i)
			cout << "no" << endl;
	}
	return 0;
}