数论——整除

整除是数论中的基础知识。
【flag】博主想要写一套数论整合博客，此博客是第一篇。

声明

本系列博客中提到的数都是整数，所用的字母除特别申明以外也都表示整数。

整除

设有$a，b$两个数，且满足$b≠0$，如果存在一个数$c$使得$a=bc$，则我们称之为$b$整除$a$，记作$b|a$，显然$b$是$a$的一个约数（因子），而称$a$为$b$的一个倍数。如果不存在上述的数$c$，我们说$b$不能整除$a$，符号是$|$上面加一撇，可以上百度查一下，博主并不会在markdown中打这个高端的符号。

几个简单的性质

传递性

若$b|c$，且$c|a$，则$b|a$，整除性质具有传递性。

加减律

若$b|a$，且$b|c$，则$b|(a+c)$，则为某一整数的倍数的整数之集关于加减运算封闭。

常用结论

若$b|a$，则或者$a=0$，或者$|b|\leq|a|$。因此，若$b|a$而且$a|b$，则$|a|=|b|$.

带余除法

有整数$a$和$b$($b>0$)，那就会存在整数$q$和$r$使得

$$a=bq+r，其中0\leq r<b$$
并且可以唯一确定。

重要性质

若$n$是正整数，则

$$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+…+xy^{n-2}+y^{n-1})$$
若$n$是正奇数，则
$$x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+…-xy^{n-2}+y^{n-1})$$
这两个结论可以证明$x^n\pm y^n$和$x\mp y$之间的整除关系。

习题

这里的习题大多是数学上的证明，因为数论的最终目的就是得到一个结论，那么程序实现就好弄多了。

习题一

求证：$1\underbrace{0…0}_{200个0}1$被1001整除。

证明：根据重要性质第二条，我们有

$$\begin{align} 1\underbrace{0…0}_{200个0}1&=10^{201}+1=(10^3)^{67}+1^{67}\\ &=(10^3+1)(…) （这里省略不写）\\ ∴能被1001整除 \end{align}$$

习题二

设$0\leq n<m$，证明：$(2^{2^n}+1)|(2^{2^m}-1)$.

证明：根据重要性之第一条，我们取$x=2^{2^{n+1}}$，$y=1$，并以$2^{m-n-1}$代替那里的$n$，得出

$$\begin{align} 2^{2^m}-1&=(2^{2^{n+1}})[(2^{2^{n+1}})^{2^{m-n-1}-1}+…+2^{2^{n+1}}+1]\\ 故&(2^{2^{n+1}}-1)|(2^{2^{m}}-1)\\ 又&2^{2^{n+1}}-1=(2^{2^{n}}-1)(2^{2^{n}}+1)\\ 从而&(2^{2^{n}}+1)|(2^{2^{m}}-1)\\ 由传递性得证&(2^{2^{n}}+1)|(2^{2^{m}}-1)\\ \end{align}$$

习题三

设整数$a、b、c、d$满足$ad-bc>1$证明：$a、b、c、d$中至少有一个数不能被$ad-bc$整除.

证明：运用反证法，先假设$a、b、c、d$都能被$ad-bc$整除。
所以有

$$\begin{align} &(ad-bc)|a\ =>b|a且c|a\\ &(ad-bc)|b\ =>a|b且d|b\\ &(ad-bc)|c\ =>a|c且d|c\\ &(ad-bc)|d\ =>b|d且c|d\\ 所以得到：&a=b=c=d\\ 又∵ad-bc>1\\ ∴矛盾，假设不成立。 \end{align}$$

GG

数论——整除。