LeetCode 367 Valid Perfect Square

最新推荐文章于 2024-02-18 14:00:52 发布

原创最新推荐文章于 2024-02-18 14:00:52 发布 · 316 阅读

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本文介绍三种高效算法来判断一个整数是否为完全平方数：利用奇数和特性、牛顿迭代法及二分查找法。这三种方法避免了使用内置平方根函数。

Given a positive integer num , write a function which returns True if num is a perfect square else False.

Note: Do not use any built-in library function such as sqrt.

Example 1:

Input: 16
Returns: True

Example 2:

Input: 14
Returns: False

参考： tstsugeg-[leetcode] 367. Valid Perfect Square

方法一：一完全平方数可分解为1 + 3 + 5 + 7 + ... 因为 (x + 1) ^ 2 - x ^ 2 = 2 * x + 1。 完全平方数是一系列奇数之和， 例如：

1 = 1
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
....
1+3+...+(2n-1) = (2n-1 + 1)n/2 = n*n

	public boolean isPerfectSquare2(int num) {
		int k = 1;
		while (num > 0) {
			num = num - k;
			k = k + 2;
		}
		return 0 == num;
	}

方法二：牛顿迭代法，此方法效率最高！

设r是

的根，选取

作为r的初始近似值，过点

做曲线

的切线L，L的方程为

，求出L与x轴交点的横坐标

，称x 1为r的一次近似值。过点

做曲线

的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标

，称

为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，

称为r的

次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程

线性化的一种近似方法。把

在点

的某邻域内展开成泰勒级数

，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即

，以此作为非线性方程

的近似方程，若

，则其解为

，这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：

。引自：百度百科-牛顿迭代法

根据以上迭代公式，我们不断用f(x)=x^2-num的切线来逼近方程x^2-num=0的根。根号num实际上就是x^2-num=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2-num得到x-(x^2-num)/(2x)，也就是(x+num/x)/2。此段引自：matrix67-牛顿迭代法快速寻找平方根

	public boolean isPerfectSquare(int num) {
		long x = num;
		while (x * x > num) {
			x = (x + num / x) / 2;
		}
		return x * x == num;
	}

方法三：二分查找，效率比方法一好，但是不如牛顿迭代法。

	public boolean isPerfectSquare3(int num) {
		if (num < 0) return false;
		long i = 0;
		long j = num;
		while (i <= j) {
			long m = (i + j) / 2;
			long m2 = m * m;
			if (m2 == num) return true;
			if (m2 < num) i = m + 1;
			else j = m - 1;
		}
		return false;
	}