问题五十九：怎么求一元六次方程在区间内的所有不相等的实根（3）——修正一个问题

前续：问题五十九：怎么求一元六次方程在区间内的所有不相等的实根（2）

我们在画“问题六十”的各种回旋体时，遇到这样的问题：

当“基本曲线”的控制点为：

//8--meet some problems
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3( 4.0,  4.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

会出现：在解某个一元六次方程时卡在那个“不断细分区间直到区间内只有一个实根”的while循环里。

原因是：

出现了两种情况：

情况一（s1）：当left和right值非常接近，以至于，每次细分之后还是原来的区间；而且该区间上的实根个数大于1，所以，不断细分。

情况二（s2）：在细分区间的过程中，竟然出现细分区间的left=right=b（right value of the whole interval），而且，该区间上没有实根，所以，不断重复。

修改方式：

情况一（s1）：直接break跳出while循环。该区间的实根个数大于1，但是Newton迭代可能又找不到实根，所以在迭代完之后，再将right值作为实根。

情况二（s2）：直接break跳出while循环。但是该区间上没有实根，所以，跳出循环后就没有必要再往后运行了，所以再break跳出for循环。

修改代码如下方红色字体标注：

bool roots_equation_6th(float ee6[7], float a, float b, float tol, float (&roots)[7]) {
        double root[2], xxx0[2], temp;
        double left = a;
        double right = b;
        int total_num, interval_num;
        int offset = 0;
        roots[0] = 0.0;
        roots_num_equation_6th(ee6, double(a), double(b), total_num);
        if (total_num == 0) {
            return true;
        }
        else {
            interval_num = total_num;
            for (int i=1; i<(total_num+1+offset); i++) {
                while(interval_num != 1) {
                    if (left > right) {
                        temp = left;
                        left = right;
                        right = temp;
                    }
                    right = (left + right)/2;

                    roots_num_equation_6th(ee6, left, right, interval_num);
                    if (interval_num == 0) {
                        left = right;
                        right = b;

                        if (left == right) {
                        /*s2: handle the situation that both left and right value reach the right end of the whole interval*/
                            break;
                        }
                    }
                    else if (fabs(left-right)<tol) {
                    /*s1: left and right value are are so close that their values even don't change under sub-dividing*/
                        break;
                    }
                }
                if (interval_num == 0) {
                /*s2: handle the situation that both left and right value reach the right end of the whole interval*/
                    break;
                }

                xxx0[0] = left;
                xxx0[1] = right;
                get_root_by_newton_iteration_for_equation_6th(ee6, xxx0, tol, root);
                if (root[0] != 0.0) {
                    roots[0] = roots[0] + 1.0;
                    roots[int(roots[0])] = root[1];
                    left = right;
                    right = b;
                }

                else if ((root[0] == 0.0)&&(fabs(left-right)<tol)&&(interval_num>=1)) {
                /*s1: left and right value are are so close that their values even don't change under sub-dividing,
                the interval_num may be more than one, so we modify "interval_num==1" to "interval_num>=1"*/

                    roots[0] = roots[0] + 1.0;
                    roots[int(roots[0])] = left;
                    left = right;
                    right = b;
                }
                else {
                    offset ++;
                    right = (left + right)/2;
                }

                roots_num_equation_6th(ee6, left, right, interval_num);
            }
        }
        return true;
}

贴一张发现问题对应的控制点在修正问题后输出的图形：