算法导论 - 动态规划 - 钢条切割

源自：http://blog.youkuaiyun.com/wang2124596/article/details/8937004

什么是动态规划：

　　动态规划包含了分治法的思想——将原问题分解为规模较小，但是类似于原问题的一系列子问题分而求之，并最终得到原问题的解。

　　而动态规划又与分治法不同：分治法通常用来求解原问题中的子问题互不相交——不同的子问题没有或极少有相同的子子问题。动态规划正好相反，将其应用于子问题重叠的情况，可以避免对于相同的子问题进行过多的不必要的工作——对每个子子问题只求解一次，并将结果保存起来，从而在碰到相同的子问题时，可以直接取得结果，而不必重新计算。

动态规划应用领域：

　　动态规划方法通常用来求解最优化问题。这类问题可以有很多可行解，每个解都有一个值，我们希望寻找具有最优值（最小值或最大值）的解。我们称呼这样的解为问题的一个最优解，而不是最优解，因为可能有多个解都达到最优值。

动态规划的步骤：

1. 刻画一个最优解的结构特征。
2. 递归地定义最优解的值。
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

——以上部分内容参考自《算法导论》

下面以钢条切割的例子来演示动态规划方法：

　　若钢条的长度为i，则钢条的价格为Pi，如何对给定长度的钢条进行切割能得到最大收益？

长度i　   1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　10

价格Pi    1　　5　　8　　9　    10　 17  　17  　20　 14   　30

i = 1时，钢条不可切割，r[1] = 1

i = 2时，钢条可分割为1 + 1，其价格为2。若不分割（0 + 2），价格为5。即r[2] = 5

i = 3时，钢条可分割为0 + 3， 1 + 2。r[3] = 8

同理可得：

r[4] = 10（2 + 2）

r[5] = 13（2 + 3）

r[6] = 17（0 + 6）

r[7] = 18（1 + 6或4 + 3 => 2 + 2 + 3）

.......

我们可以发现，长度为7时，将其切割为长度4与长度3的钢条，并对两个钢条分别求最优解：长度4的最优解为r[4] = 10（2 + 2），长度3的最优解为r[3] = 8，即可得r[7] = r[4] + r[3] =>原问题的最优解等于子问题的最优解之和的最大值

因此，在计算r[i]时，所求值即为r[0] + r[i]，r[1] + r[i - 1]，r[2] + r[i - 2]， ...  ，r[i - 1] + r[1] 之间的最大值，而在动态规划中，r[0] —— r[i - 1]的值在计算r[i]之前已经保存好了，进行少量的运算便能取得最优结果。

以下为代码：

[cpp]  view plain copy

1. #include <iostream>  
2. using namespace std;  
3.   
4. //保存长度为i的钢条对应的价格  
5. const int p[11] = {0, 1, 5, 8, 9, 10,17, 17, 20, 24, 30};  
6.   
7. int getOptimum(int n)  
8. {  
9.     int *r = new int[n + 1];  
10.   
11.     for(int i = 0, max; i <= n; i ++)  
12.     {  
13.         max = p[i];  
14.   
15.         //取得不同分割方案的最大值  
16.         for (int j = 1, sum; j < i; j ++)  
17.         {  
18.             //由于j < i && i - j < i  
19.             //所以r[j]以及r[i - j]的值已经取得并保存  
20.             sum = r[j] + r[i - j];  
21.             if(sum > max)  
22.                 max = sum;  
23.         }  
24.         r[i] = max;//保存所得结果  
25.     }  
26.   
27.     return r[n];  
28. }  
29.   
30. int main(void)  
31. {  
32.     int n = -1;  
33.   
34.     while(n < 0)  
35.         cin>>n;  
36.   
37.     cout<<getOptimum(n)<<endl;  
38.   
39.     return 0;  
40. }