<think>我们被要求解决钢条切割问题的动态规划方案，并在Excel中实现。钢条切割问题：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p_i（表示长度为i英寸的钢条的价格），求切割方案使得销售收益最大。动态规划思想：1.自底向上：我们先计算较小的子问题，然后逐步构建到较大的问题。2.定义：设r[j]表示长度为j英寸的钢条的最大收益。3.递推关系：r[j]=max(p_i+r[j-i])，其中i从1到j（如果j>=i），并且我们也可以不切割，即r[j]至少可以是p_j（如果j<=价格表的最大长度）。在Excel中实现，我们可以按照以下步骤：步骤1：准备两个区域-价格表：在某一列（如A列）输入长度（1,2,...,n），在相邻列（如B列）输入对应的价格。-动态规划表：在另一区域（如D列）放置长度（0,1,2,...,n），在E列放置对应长度的最大收益。步骤2：初始化-长度为0时，收益为0。所以D1=0，E1=0。步骤3：计算每个长度j的最大收益-对于每个长度j（从1到n），最大收益r[j]=max(p[i]+r[j-i])，其中i=1,2,...,j。注意：如果j大于价格表中最大长度，则p[i]只到价格表的最大长度，超过部分我们可以认为价格为0（或者只考虑i不超过j且价格表中存在的长度）。在Excel中，我们可以使用公式来实现。假设：-价格表在A2:B11（假设最大长度为10，A2:A11是长度1到10，B2:B11是对应价格）-动态规划表：D列是长度（0,1,...,n），E列是最大收益。D2=0,E2=0D3=1,要计算E3（即长度为1的最大收益）由于长度为1，只能切一段，所以最大收益就是p1（即B2）公式：E3=B2（因为j=1，只能取i=1，所以p1+r0=p1+0）D4=2，E4的计算：有两种选择：不切割（即取p2）或者切割成1+1（即p1+r1）所以E4=max(B3,//这里B3是长度2的价格（因为长度2在价格表中是第3行，A3=2，B3是价格）B2+E3//切割成1和1，即价格表中的1（B2）加上长度为1的最大收益（E3）)但是注意，如果价格表中没有长度2，那么我们只能切割？所以这里我们假设价格表是完整的直到长度10。更一般地，对于长度j（在D列的第j+2行，因为D2是0，D3是1，所以长度j所在行是D(j+2)），最大收益E(j+2)的计算公式为：=MAX(如果j<=10（价格表最大长度），则考虑不切割（即价格表中长度为j的价格），然后考虑切割：对于i从1到j-1，计算p_i+r_{j-i}的最大值)但是Excel中不能直接写循环，我们可以使用一个数组公式，或者用MAX函数嵌套一个数组。另一种方法：我们可以用一个公式来考虑所有切割点。对于长度j，我们考虑第一段切i（i从1到j），那么收益为p_i+r_{j-i}。注意：p_i需要从价格表中获取，而r_{j-i}在动态规划表中已经计算。具体操作（以Excel公式为例）：-假设我们在计算长度j（在单元格Dk，其中k=j+2）对应的最大收益（Ek）。-我们可以在Ek中写入公式：=MAX(如果价格表中有长度为j的价格，则取该价格；否则取一个很小的值（比如0），以及一个数组：对于i从1到j-1，计算：价格表中长度为i的价格+动态规划表中长度为j-i的收益)但是注意：我们无法在价格表中直接通过长度j来获取价格，因为价格表是按顺序排列的。我们可以用VLOOKUP函数。步骤：1.在动态规划表中，对于每个长度j（假设从第3行开始，第3行是长度1），在E3单元格输入公式：=MAX(VLOOKUP(D3,$A$2:$B$11,2,FALSE),//不切割，直接卖整段MAX(数组)//考虑切割，即第一段切1,2,...,j-1)但是注意：当j=1时，切割只能切1，而且j-1=0，所以切割部分不需要考虑（因为i从1到j-1是空集）。因此，我们只需要考虑不切割的情况。2.为了避免复杂的数组公式，我们可以借助辅助列。但这里我们可以用SUMPRODUCT或者直接写数组公式（按Ctrl+Shift+Enter）。另一种思路：不使用数组公式，而是用一列辅助计算。但动态规划表有n行，我们需要为每个长度j计算j次，这样就需要一个二维表？实际上，动态规划表是一维的，但计算过程中需要参考前面的结果。我们可以这样设计公式（数组公式）：Ek=MAX(VLOOKUP(Dk,$A$2:$B$11,2,FALSE),//不切割MAX(OFFSET($E$2,1,0,1)+OFFSET($E$2,Dk-1,0,1)???)//这个不好表达更简单的方法：我们可以用如下公式（数组公式）：=MAX(IF(ROW(INDIRECT("1:"&Dk))<=10,VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&Dk)),$A$2:$B$11,2,FALSE),0)+INDEX($E$2:$E$100,Dk-ROW(INDIRECT("1:"&Dk))+2,1))解释：ROW(INDIRECT("1:"&Dk))生成一个1到j的数组（j=Dk，即当前长度）。然后，对于每个i（从1到j）：第一部分：如果i<=10，则从价格表中查i的价格，否则0（假设价格表只到10，且长度大于10的钢条没有价格，只能切割，但价格表只到10，所以超过10的部分我们无法直接卖整段，但切割后每段都不超过10，所以这里我们只考虑切割成不超过10的段，因此i最大取10，但j可能大于10？题目没有说明，我们假设价格表只到10，那么对于长度大于10的，只能切割成不超过10的段，所以我们在价格表中没有大于10的价格，那么不切割的选项就不存在（或者为0），所以我们可以不考虑j>10的不切割，因为价格表中没有j>10的价格，VLOOKUP会返回错误，我们可以在VLOOKUP外面用IFERROR处理，但为了简单，我们假设j不超过10（价格表最大长度）？或者我们允许j更大，那么不切割的选项就是0（因为没有价格），而切割部分我们只考虑i<=min(j,10)，因为切出来的第一段长度i不能超过10（否则没有价格）。因此，修改公式：=MAX(IFERROR(VLOOKUP(Dk,$A$2:$B$11,2,FALSE),0),//不切割，如果Dk在价格表中有，则取价格，否则0MAX(IF(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10)))<=10,//只考虑1到min(j,10)VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10))),$A$2:$B$11,2,FALSE)+INDEX($E$2:$E$100,Dk-ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10)))+2,1))))注意：这个公式是数组公式，需要按Ctrl+Shift+Enter。但是，上面的公式中，INDEX($E$2:$E$100,...)用于获取长度为j-i的收益。其中，$E$2是长度0的收益，$E$3是长度1的收益，所以长度为x的收益在$E$2:$E$100的第x+1行（因为行2是长度0，行3是长度1，...，行k是长度k-2）。所以，对于长度j-i，它在动态规划表中的位置是：行号=(j-i)+2（因为D2是0，所以E2对应长度0，E3对应长度1，...，E(j-i+2)对应长度j-i）。所以，在公式中，对于每个i，我们需要取的行是：Dk-i+2（因为当前长度j=Dk，减去i后得到长度j-i，然后加上2是因为E2是第2行，长度0，所以长度j-i在E列的第(j-i)+2行）。注意：Dk是单元格的值，即当前长度j。因此，公式可以写成：=MAX(IFERROR(VLOOKUP(j,$A$2:$B$11,2,FALSE),0),MAX(数组：对于i从1到min(j,10)：price(i)+r(j-i)))数组部分：用数组公式生成一个1到min(j,10)的序列，然后计算每个i对应的price(i)+r(j-i)的值，然后取最大值。具体公式（假设Dk是当前长度j，比如D3=1）：=MAX(IFERROR(VLOOKUP(D3,$A$2:$B$11,2,FALSE),0),MAX(IF((ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))<=MIN(D3,10))*(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))>0),VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10))),$A$2:$B$11,2,FALSE)+INDEX($E$2:$E$100,D3-ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))+2,1))))但是，这个公式中MAX函数不能直接作用于数组，所以我们需要用数组公式，按Ctrl+Shift+Enter，并且MAX函数只能有一个参数。我们可以用以下方式：=MAX(IFERROR(VLOOKUP(D3,$A$2:$B$11,2,FALSE),0),MAX(IF(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))<=MIN(D3,10),VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10))),$A$2:$B$11,2,FALSE)+INDEX($E$2:$E$100,D3-ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))+2,1)))注意：这个公式需要按Ctrl+Shift+Enter，因为它包含数组操作。但是，当j=1时，min(1,10)=1，ROW(INDIRECT("1:1"))就是1，然后：VLOOKUP(1,...)得到价格1（假设在B2），INDEX($E$2:$E$100,1-1+2=2,1)就是E2（长度为0的收益，0）所以这一项就是B2+0，然后与不切割（也是B2）比较，所以取B2。当j=2时，min(2,10)=2，ROW(INDIRECT("1:2"))={1;2}i=1:price(1)+r(2-1)=B2+E3（因为2-1=1，在E3位置）i=2:price(2)+r(0)=B3+E2然后取这两个的最大值，再与不切割（B3）比较。但是注意：不切割就是i=j的情况，也就是我们数组中的i=j的情况（当j<=10时，数组中的i=j就是price(j)+r(0)=price(j)），所以不切割的情况已经包含在数组中了（当i=j时，j-i=0，所以r0=0）。所以我们可以省去不切割的单独判断，因为当i=j时，我们计算的就是price(j)+0。所以公式可以简化为：=MAX(IF(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10)))<=MIN(Dk,10),VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10))),$A$2:$B$11,2,FALSE)+INDEX($E$2:$E$100,Dk-ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10)))+2,1)))注意：这个公式需要按数组公式输入（Ctrl+Shift+Enter）。另外，当j=0时，我们不需要计算，因为初始化了E2=0。因此，在E3（长度1）的公式为（数组公式）：{=MAX(IF(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))<=MIN(D3,10),VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10))),$A$2:$B$11,2,FALSE)+INDEX($E$2:$E$100,D3-ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))+2,1)))}然后向下拖动填充到其他长度（直到长度n）。注意：当j大于价格表的最大长度（10）时，我们只考虑切割成1到10的段，因为大于10的段没有价格（或者我们也可以不切割，但价格表中没有，所以不切割收益为0，而切割成1到10的段至少会有收益，所以没问题）。步骤4：构建动态规划表-D列：长度0,1,2,...,n（假设n=20）-E列：在E2输入0（长度0），在E3输入上面的数组公式（长度1），然后向下拖动到E22（长度20）。步骤5：如何记录切割方案？上面的公式只计算了最大收益，没有记录切割方案。为了记录方案，我们需要额外的列来记录第一段切割的长度（即最优解中第一段切多少）。在F列（方案列）：对于长度j，我们想要知道在计算最大收益时，是哪个i使得收益最大（即第一段切i英寸）。我们可以用MATCH函数来找到在数组公式中哪个i对应的值等于最大收益（但是注意，可能有多个i得到相同的最大收益，我们取最小的i？或者任意一个，通常取第一个？但题目没有要求唯一，我们取任意一个即可）。在Fk（对应长度j）输入：=IF(Ek=0,0,//如果最大收益为0，则没有切割方案1//这里我们用一个简单方法：重新计算一次，找到第一个使得price(i)+r(j-i)=Ek的i)我们可以用：=MATCH(Ek,IF(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10)))<=MIN(Dk,10),VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10))),$A$2:$B$11,2,FALSE)+INDEX($E$2:$E$100,Dk-ROW(INDIRECT("1:"&MIN(Dk,10)))+2,1),0)//精确匹配)这个公式也是数组公式（按Ctrl+Shift+Enter）。但是注意，由于浮点数计算可能产生误差，或者可能有多个相同的最大值，MATCH函数返回第一个匹配的位置（即i的值）。然后，我们可以根据第一段切割的长度i，然后剩下的长度j-i，再查看F列中长度为j-i的切割方案，这样递归地得到整个切割方案。但是，在Excel中递归地展开方案比较麻烦。我们可以用公式来拼接字符串？或者用VBA？这里我们只记录第一段切割的长度，然后用户可以根据剩下的长度去查找对应的方案。另一种方法：我们可以在每一行记录完整的最优切割方案（用字符串表示）。这需要更复杂的公式，我们可以用迭代计算，但Excel默认不开启迭代计算。我们可以用辅助列，但比较麻烦。为了简单，我们只记录第一段切割的长度，然后用户可以根据剩下的长度（j-i）在动态规划表中查找该长度对应的第一段切割长度，以此类推。例如：在G列，我们记录方案字符串。我们可以这样：G2:0->方案为空（长度为0）G3:如果F3=1，那么方案就是"1"，否则如果F3>1，那么方案就是F3（字符串）加上剩余部分的方案。但是剩余部分的方案在G列中长度j-i的位置。所以，G3=IF(F3=0,"",F3&IF(D3-F3>0,","&INDEX($G$2:$G$100,D3-F3+2),""))然后向下填充。注意：这里D3-F3+2：因为D3是当前长度j，F3是第一段切去的长度i，那么剩余长度=j-i，这个剩余长度在动态规划表的第(j-i)+2行（因为行2是长度0，行3是长度1，...）。所以我们在G列的第(j-i)+2行取方案字符串。但是注意：这个公式是循环引用，因为G3可能依赖于G列后面的值？不对，我们是从小到大计算，所以当计算G3时，D3-F3一定小于D3，所以已经计算过了。所以不会循环引用。总结Excel实现步骤：1.在A列和B列输入价格表（A列长度，B列价格），从第2行开始（假设第1行是标题，或者从第2行开始是长度1），例如：A2:1,B2:1A3:2,B3:5...直到A11:10,B11:302.在D列输入长度0到n（例如D2=0,D3=1,D4=2,...直到D22=20）3.在E2输入0（长度为0的收益）4.在E3输入数组公式（按Ctrl+Shift+Enter）：{=MAX(IF(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))<=MIN(D3,10),VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10))),$A$2:$B$11,2,FALSE)+INDEX($E$2:$E$100,D3-ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))+2,1)))}然后向下拖动填充到E列其他单元格（直到长度n对应的行）。5.在F3输入数组公式（用于找到第一段切割长度）：{=MATCH(E3,IF(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))<=MIN(D3,10),VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10))),$A$2:$B$11,2,FALSE)+INDEX($E$2:$E$100,D3-ROW(INDIRECT("1:"&MIN(D3,10)))+2,1),0)}然后向下填充。6.在G2输入：""（长度为0的方案为空）在G3输入：=IF(F3=0,"",F3&IF(D3-F3>0,","&INDEX($G$2:$G$100,D3-F3+2),""))然后向下填充。注意：步骤5和6是可选的，如果只需要最大收益，那么步骤5和6可以省略。示例：假设价格表如下（长度1到10）：长度：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10价格：1,5,8,9,10,17,17,20,24,30然后我们计算长度为4：不切割：价格9切割方案：1+3：1+8=92+2：5+5=103+1：8+1=94：9最大收益为10（切割成2+2）。在Excel中，对于长度4（D5=4）：E5=MAX(i=1:price(1)+r(3)->1+E4（长度3的收益）i=2:price(2)+r(2)->5+E4（长度2的收益）->注意：E4是长度3，E3是长度1，E4是长度2？不对，我们D列：D3=1,D4=2,D5=3,D6=4?这里要注意行号。我们重新设计动态规划表的位置：假设：D2:0->E2=0,F2=0,G2=""D3:1->E3,F3,G3D4:2D5:3D6:4所以，对于长度4在D6。在E6输入数组公式，计算：i=1:price(1)+r(3)->1+E5（因为D6=4，减去1得3，在D5，所以E5是长度3的收益）i=2:price(2)+r(2)->5+E4（长度2的收益）i=3:price(3)+r(1)->8+E3i=4:price(4)+r(0)->9+E2=9然后取最大值：max(1+E5,5+E4,8+E3,9)假设我们已经计算了：E3=1（长度1：只能不切割，1）E4：长度2：max(price(2)=5,price(1)+r(1)=1+1=2)->5E5：长度3：max(price(3)=8,price(1)+r(2)=1+5=6,price(2)+r(1)=5+1=6)->8所以E6=max(1+8,5+5,8+1,9)=max(9,10,9,9)=10然后在F6：用MATCH函数，在数组[1+8=9,5+5=10,8+1=9,9]中找10，位置是2（第二个，即i=2）所以F6=2然后G6：=2&IF(4-2>0,","&INDEX(G列,4-2+2行),"")4-2=2，所以INDEX(G列,2+2=4行)->G4（长度2的切割方案）长度2（D4）的切割方案：在G4中，计算F4：长度2的F4是多少？对于长度2（D4=2）：E4=5（上面计算）F4：用MATCH找，数组：i=1:price(1)+r(1)=1+1=2;i=2:price(2)=5->最大值5，位置2（因为数组[2,5]中5是第二个）所以F4=2G4：=2&IF(2-2>0,...)->因为2-2=0，所以只输出"2"所以G6="2,"&"2"->"2,2"因此，我们得到长度为4的最优切割方案是2,2。注意：如果价格表不是递增的，可能切割方案有多种，我们只取第一个达到最大值的切割点。以上就是用Excel实现钢条切割问题的动态规划方法。注意：如果n很大（比如100），那么数组公式会生成一个长度为min(100,10)=10的数组，所以计算量不大。但是，如果价格表的最大长度不是10，而是L，那么数组长度就是min(j,L)，所以当L很大且j很大时，数组会很大，可能影响性能。不过通常L不会太大。最后，我们提供示例Excel表格的截图或描述是不现实的，所以用文字描述步骤。另外，如果用户需要，我们可以提供一个示例Excel文件，但这里只能描述步骤。参考文献：[^1]:钢条切割（dp解法）[^2]:动态规划----钢条切割问题[^3]:钢条切割（记忆型递归）dp[^4]:算法导论--动态规划（钢条切割）[^5]:算法很美笔记（Java）——动态规划</think>### 钢条切割问题的动态规划解决方案及Excel实现
钢条切割问题是一个经典的动态规划问题：给定长度为 $n$ 英寸的钢条和价格表 $p_i$（长度为 $i$ 英寸的价格），求最大化销售收益的切割方案。动态规划通过存储子问题解避免重复计算，核心递推关系为：
$$r_j = \max_{1 \leq i \leq \min(j,m)} \left( p_i + r_{j-i} \right)$$
其中 $r_j$ 表示长度 $j$ 的最大收益，$m$ 是价格表最大长度。
---
### **Excel实现步骤**
**假设价格表（A1:B11）：**
| 长度(i) | 价格(p_i) |
|---------|----------|
| 1 | 1 |
| 2 | 5 |
| ... | ... |
| 10 | 30 |
**动态规划表（D1:Gn）：**
| 长度(j) | 最大收益(r_j) | 第一段长度 | 完整方案 |
|---------|--------------|------------|----------|
| 0 | 0 | - | "" |
| 1 | =计算 | =计算 | =拼接 |
| ... | ... | ... | ... |
#### **步骤详解：**
1. **初始化（D2:G2）：**
- D2: `0`（长度）
- E2: `0`（收益）
- F2: `""`（方案）
- G2: `""`（完整方案）
2. **计算最大收益（E列，数组公式需Ctrl+Shift+Enter）：**
- **E3公式**（长度1）：
```excel
=MAX(
IFERROR(VLOOKUP(D3, $A$2:$B$11, 2, FALSE), 0),
IF(ROW(INDIRECT("1:" & MIN(D3, 10))) <= MIN(D3, 10),
VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:" & MIN(D3, 10))), $A$2:$B$11, 2, FALSE)
+ INDEX($E$2:$E$100, D3 - ROW(INDIRECT("1:" & MIN(D3, 10))) + 2, 1)
)
```
- **向下填充**至长度 $n$。
3. **记录第一段切割长度（F列，数组公式）：**
- **F3公式**：
```excel
=MATCH(E3,
IF(ROW(INDIRECT("1:" & MIN(D3, 10))) <= MIN(D3, 10),
VLOOKUP(ROW(INDIRECT("1:" & MIN(D3, 10))), $A$2:$B$11, 2, FALSE)
+ INDEX($E$2:$E$100, D3 - ROW(INDIRECT("1:" & MIN(D3, 10))) + 2, 1),
0)
```
4. **生成完整方案（G列）：**
- **G3公式**：
```excel
=IF(F3="", "",
F3 & IF(D3-F3>0, "," & INDEX($G$2:$G$100, D3-F3+2), "")
)
```
---
### **示例验证（长度4）**
| 长度(j) | 收益(r_j) | 第一段 | 方案 |
|---------|----------|--------|-------|
| 1 | 1 | 1 | "1" |
| 2 | 5 | 2 | "2" |
| 3 | 8 | 3 | "3" |
| **4** | **10** | **2** | **"2,2"** |
- **计算过程**：
- $r_4 = \max(p_1 + r_3=9,\ p_2 + r_2=10,\ p_3 + r_1=9,\ p_4=9) = 10$
- 最优方案：切割为2英寸+2英寸[^2][^4]。
---
### **动态规划的优势**
- **时间优化**：自底向上计算，避免递归重复（如直接递归复杂度 $O(2^n)$，DP为 $O(n^2)$）[^4][^5]。
- **空间优化**：仅需一维数组存储子问题解[^1][^3]。
---
### **注意事项**
1. 价格表需覆盖所有 $i \leq m$（$m$ 为最大分段长度）。
2. 数组公式必须按 **Ctrl+Shift+Enter** 生效。
3. 若 $n > m$，公式自动限制 $i \leq m$ 保证有效性。
通过Excel实现，可直观验证动态规划的子问题依赖和最优解构造过程[^2][^4]。
---
本文介绍了如何使用动态规划解决钢条切割问题，以最大化销售收益。动态规划的四个步骤被详细阐述，并通过一个具体的价格表样例展示了解决方案。文章分析了不同长度钢条的最优切割方案，展示了一般情况下如何用更短钢条的最优切割收益来描述Rn。
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