扩展欧几里得算法、ax+by=c求解、ax≡c(mod m）、逆元求解、(b/a)%m计算c++代码

参考

《算法笔记》（胡凡）

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扩展欧几里得算法

求解ax+ by = gcd(a, b)

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int gcd = exGcd(b, a % b, x, y);
	int tmp = x;
	x = y;
	y = tmp - (a / b) * y;
	return gcd;
}

全部解： x' = x + b / gcd * K   （K为任意整数）

                y' = y - a / gcd * K

x的最小非负整数解：(x % (b / gcd)  + (b / gcd)) % (b / gcd)

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 方程ax + by = c求解

ax + by = c存在解的充要条件是c % gcd = 0

其中一组解为(x0, y0) = (cx / gcd, cy / gcd)，x、y即为上面代码求出的ax + by = gcd的解

全部解：x' = cx / gcd + b / gcd * K （K为任意整数）

               y' = cy / gcd - a / gcd * K

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同余式ax ≡ c (mod m)求解

等价于求解ax + my = c，c % gcd(a，m) = 0时才有解，先求ax + my = gcd(a，m)，得到(x，y)，进而按照公式得到ax + my = c中x的全部解：x' = cx / gcd + m / gcd * K （K为任意整数），当K取0、1、2...、gcd(a，m) - 1时所得到的解在模m意义下是不同的

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逆元的求解

乘法逆元：ab ≡ 1 (mod m)成立，则称a和b互为模m的逆元

gcd(a，m) = 1则有解，取最小非负整数解(x % m + m) % m为逆元

另外，如果符合费马小定理，可以使用该定理

费马小定理：设m是素数，a是任意整数且a不为m的整数倍，则a ^ (m - 1) ≡ 1(mod m)。

即a ^ (m - 2) % m即为逆元，用快速幂求解

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(b / a) % m的计算

转换为(b * x) % m，x为a模m的逆元，此时b可以已经取过模，不是原始值

若gcd(a, m) ≠ 1，使用(b / a) % m = (b % (am)) / a