树网的核 解题报告

4. 树网的核

(core.pas/c/cpp)

【问题描述】

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。

路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。

一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离：

d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即

。

任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

【输入】

    输入文件core.in包含n行：

第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1, 2, ..., n。

从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 47”表示连接结点2与4的边的长度为7。

所给的数据都是正确的，不必检验。

【输出】

  输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

 【输入输出样例1】

core.in	core.out
5 2 1 2 5 2 3 2 2 4 4 2 5 3	5

 

【输入输出样例2】

core.in	core.out
8 6 1 3 2 2 3 2 3 4 6 4 5 3 4 6 4 4 7 2 7 8 3	5

 

【限制】

    40%的数据满足：5<=n<=15

    70%的数据满足：5<=n<=80

100%的数据满足：5<=n<=300,0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数

 

 

解题思路

     这道题题目很长，不仔细理解的话会感觉很难，以下是我对这道题题目的分析：

     在数网中，最长的路径是直径，直径可以有很多条（可以有多条长度相同的），而偏心距指的是在数网中，距离树网的核最远的点到路径的距离，这里我们会想到用最短路径，本题任务是在某条直径中截一段不超过s的路径，使这条路径的偏心距最小

算法原理：

   通过Floyd算法，对数网中任意两点间距离进行更新至最短路径，然后通过枚举，找出这个数网中的直径（即最长的），并记录直径长度，然后继续通过枚举每一个节点，判断它是否为直径（即长度是否符合，if d[i,j]=max），在直径的基础上，继续枚举每一个节点，判断其是否是这条直径上的点(if d[i,k]+d[k,j]=max)，如果是，就进行标记(q[k]:=true)；

   枚举所有点（双重循环，因为需要起终点），如果两个点都在直径上（符合第一个要求）并且长度不超过s（符合第二个要求）(if (q[i])and(q[j])and(d[i,j]<=s)，然后枚举所有的点，判断它是否在这条路径上（d[i,k]+d[k,j]=d[i,j]），对于在这条路径上的点，枚举它到每一个节点的距离，与min[k]相比，如果更小，就进行更新，最后找出这条路径的偏心距；往复循环，直到所有符合要求的路径的偏心距都已找出，就进行比较，找出其中最小的，就是答案。

 

代码详解（1）

Var

i,j,k,w,n,s,x,y,max,ecc,core:longint;{max：直径长度　ecc：偏心距core：指定意义下的最小偏心距}，n：节点数，s：最大长度，x，y：边的起点和终点

  d:array[1..300,1..300] oflongint;{两点间距离}

  q:array[1..300] of boolean;{是否在该直径上的标志}

  min:array[1..300] of longint;{某路径到路径外某点距离}

begin

 read(n,s);      //读入节点数和界限

for i:=1 to n do   //初始化

for j:=1 to n do

if i<>j thend[i,j]:=300001;

for i:=1 to n-1 do

begin

read(x,y);   //读入起点和终点

read(d[x,y]);//读入两点间长度

d[y,x]:=d[x,y];//更改为无向图

end;

for k:=1 to n do   //floyd算法

for i:=1 to n do

 if (i<>k) then

 for j:=i to n do

 if(i<>j)and(j<>k)and(d[i,k]+d[j,k]<d[i,j]) then //松弛操作

 begin

d[i,j]:=d[i,k]+d[j,k];d[j,i]:=d[i,j];//路径更新

if d[i,j]>max thenmax:=d[i,j];//顺便找出直径

end;

  for i:=1 to n do  //枚举每一个节点

begin

 for j:=i to n do//枚举每一个节点

 if d[i,j]=max then//如果是直径的话

 begin

       for k:=1 to n do//枚举每一个点

         if d[i,k]+d[j,k]=max then q[k]:=true;//如果k点在直径上，就进行标记

 end;

 end;

core:=maxlongint;  //初始化

for i:=1 to n do    //枚举每一个点

for j:=i to n do     //枚举每一个点

if q[i] and q[j]and(d[i,j]<=s) then//如果是直径上的路径并且不超过s的话

 begin

for k:=1 to n domin[k]:=maxlongint;//初始化

ecc:=0;        //初始化

for k:=1 to n do //枚举路径上每一个点

if d[i,k]+d[j,k]=d[i,j] then//如果是路径上的点，d[i,j]是上面枚举出来的符合要求的路径

for w:=1 to n do  //枚举每一个节点

if d[k,w]<min[w] then//更新每个点到这条路径的最小距离

min[w]:=d[k,w];// 进行更新

 for k:=1 to n do  //枚举每个点到这条路径的距离

if min[k]>ecc thenecc:=min[k];//目的是找出这条路径的偏心距

if ecc<core then core:=ecc;//当所有路径的偏心距都已找出，然后在里面找出最小的一个

end;

writeln(core);

end.

 

 

 

 

 

 这是一种简便方法，算法原理：

     与前面一样，先用floyd更新最短路径，然后，枚举数网中的每一段路，如果满足不超过m的要求，就继续枚举每一个节点，运用公式计算出每一个点到路径的距离，先得出每一段符合要求路的偏心距，然后在里面找出最小的一个

代码详解（2）

  program meng;

var

     n,m,i,j,max,k,x,y,min:longint;//n为顶点数；m为题目中的s；ij计数；min为偏心距

     f:array[0..301,0..301] oflongint; //存储边长度

function minn(a,b:longint):longint;   //用于更新最短路径

begin

     if a>b then exit(b) elseexit(a);

end;

begin

     readln(n,m);                  读入节点数和路径最长长度

      fillchar(f,sizeof(f),1);      给f数组赋初值

     for i:=1 to n do f[i,i]:=0;    初始化

     for i:=1 to n-1 do begin       共有n-1条边

         read(x,y);                 读入起点和终点

         read(f[x,y]);               两点间的长度

         f[y,x]:=f[x,y];         更换为无向图

     end;

     min:=maxlongint;             给最小值附一个最大的值

     for k:=1 to n do            

     for i:=1 to n do            

     for j:=1 to n do

     f[i,j]:=minn(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);  Floyd算法更新两点之间的最短路径

     for i:=1 to n do   

     for j:=1 to n do        枚举每一段路径

      if f[i,j]<=m then begin    路径长度必须要不大于m

       max:=0;

       for k:=1 to n do if(f[i,k]+f[j,k]-f[i,j]) div 2>max then 枚举每一个节点

       max:=(f[i,k]+f[j,k]-f[i,j])div 2;  

  求一个点到一条路径的距离，在图中可知f[k,路径]=(f[k,i]+f[k,j]-f[i,j])/2

         if max<min thenmin:=max;   偏心距为最远中的最小

     end;

writeln(min);

end.

心得体会

   有时候，找到公式，题目会变的很简单，但是这也需要天时地利人和，有时候，会想不出来，当然这也不是我想出来的。

   采用某种办法的时候，要看清楚数据范围