通信原理笔记

1 基本概念

• 码元 ：承载信息量的基本信号单位。10111000 $\cdots$ 中每个1或0是一个码元，这个码元中由一个二进制数字/脉冲/波形组成。每个10或11或10或00也可认为是一个码元，这个码元中有两个二进制数字/脉冲/码元（把一个大码元看作由两个小码元组成）。
• 符号：一个符号就是一个大码元
• 波特率 $R_B$：码元传输速率/传码率/码元速率，单位时间（每秒）传输码元（大码元）的数目，单位是波特（Baud）
• 码元长度 $T_b$：一般表述为每个二进制码元宽度为xx ms，注意，一个大码元的$T_b$等于每个二进制码元的$T_b$×二进制码元的个数，例如一个四进制码元的$T_{b(4)}=2T_{b(2)}$
  速率仅与码元持续时间有关 $R_B={\frac{1}{T}}_b$
• 比特率 $R_b$：信息传输速率/传信率/平均信息速率，单位时间内传输的平均信息量，单位是比特/秒（b/s）
  M进制码元携带${\log }_{2}M$波特的信息量，则码元速率和信息速率有一下关系$$R_b=R_B{\log }_{2}M$$

3 随机过程 random process

3.1 随机过程的基本概念

• 随机过程是所有样本函数的集合
• 随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合

3.1.1 分布函数

$一维\{\begin{array}{rl}& 分布函数：F_1(x_1,t_1)=P[\xi (t_1)\le x_1]\\ & \\ & 概率密度：\frac{\partial F_1(x_1,t_1)}{\partial x_1}=f_1(x_1,t_1)\end{array}$

二维{分布函数：F2(x1,x2;t1,t2)=P{ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2}概率密度：∂2F2(x1,x2;t1,t2)∂x1∂x2=f2(x1,x2;t1,t2)二维\left\{\begin{aligned} &分布函数：F_2(x_1,x_2;t_1,t_2)=P\{{\xi(t_1) \leq x_1,\xi(t_2) \leq x_2}\}\\ \\ &概率密度：\frac{\partial^2{F_2(x_1,x_2;t_1,t_2)}}{\partial{x_1}\partial{x_2}}=f_2(x_1,x_2;t_1,t_2)\end{aligned}\right.二维⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​​分布函数：F2​(x1​,x2​;t1​,t2​)=P{ξ(t1​)≤x1​,ξ(t2​)≤x2​}概率密度：∂x1​∂x2​∂2F2​(x1​,x2​;t1​,t2​)​=f2​(x1​,x2​;t1​,t2​)​

3.1.2 数字特征

1. 均值（数字期望）
   $$E[\xi (t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_1(x,t)\mathrm{d}x$$
   $E[\xi (t)]$是时间的确定函数，常记作$a(t)$

2. 方差
   D[ξ(t)]=E{ [ ξ(t)−a(t) ] 2}D[\xi(t)]=E\{\,[\,\xi(t)-a(t)\,]\,^2\}D[ξ(t)]=E{[ξ(t)−a(t)]2}
   常记作$\sigma (t{)}^2$，
   方差等于均方值和均值平方之差
   $$D[\xi (t)]=E[{\xi }^2(t)]-a^2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{f}_1(x,t)\mathrm{d}x-[a(t){]}^2$$

3. 相关函数

• 协方差函数 :
  B(t1,t2)=E{[ξ(t1)−a(t1)][ξ(t2)−a(t2)]}=∫−∞∞∫−∞∞[x1−a(t1)][ξ(t2)−a(t2)]f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2\begin{aligned} B(t_1,t_2)&=E\{[\xi(t_1)-a(t_1)][\xi(t_2)-a(t_2)]\} \\ \\ &=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty[x_1-a(t_1)][\xi(t_2)-a(t_2)]f_2(x_1,x_2;t_1,t_2){\rm d}x_1{\rm d}x_2 \end{aligned}B(t1​,t2​)​=E{[ξ(t1​)−a(t1​)][ξ(t2​)−a(t2​)]}=∫−∞∞​∫−∞∞​[x1​−a(t1​)][ξ(t2​)−a(t2​)]f2​(x1​,x2​;t1​,t2​)dx1​dx2​​

• 自相关函数：
  $$\begin{array}{rlr}R(t_1,t_2)& =E[\xi (t_1)\xi (t_2)]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_1{x}_2{f}_2(x_1,x_2;t_1,t_2)\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\end{array}$$
  $$B(t_1,t_2)=R(t_1,t_2)-a(t_1)a(t_2)$$

• 互相关函数
  $$R_{\xi \eta }(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)\eta (t_2)]$$