最大流之Dinic算法模板

Ford_Fulkerson算法是通过深度优先搜索寻找增广路，并沿着它增广。与之相对，Dinic算法总是寻找最短的增广路，并沿着它增广。因为最短增广路的长度在增广过程中始终不会变短，所以无需每次都通过宽度预先搜索来寻找最短增广路。我们可以先进行一次宽度优先搜索，然后考虑有近距离指向远距离顶点的边所组成的分成图，在上面进行深度优先搜素寻找最短增广路。如果在分层图上找不到新的增广路了，则说明最短增广路的长度确实变长了，或者不存在增广路了，于是重新通过宽度优先搜索构造新的分层图。每一步构造分层图的复杂度为O（|E|），而每一步完成之后最短增广路的长度都至少增加1，由于增广路的长度不会超过|V|-1，因此最多重复O（|V|）步就可以了。

另外，在每次对分层图进行深度优先搜素寻找增光路的时候，如果避免对一条没用的边进行多次检查（当前弧优化），就可以保证复杂度为O（|E||V|），这样总的复杂度为O（|E||V|²）。不过，该算法在实际应用中数度非常快，很多时候即便图的规模比较大也没有问题。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int Max_v=1e5+10;
int V,E;
struct edge{ //用于表示边的结构体(终点，容量，反向边）
    int to,cap,rev;
    edge(int t,int c,int r):to(t),cap(c),rev(r){}
};
vector<edge>G[Max_v]; //图的邻接表表示
int level[Max_v]; //顶点到源点的距离标号
int iter[Max_v];  //当前弧，在其之前的边已经没有用了

//向图中增加一条从from到to的容量为cap的边
void add_edge(int from,int to,int cap){
    G[from].push_back(edge(to,cap,G[to].size()));
    G[to].push_back(edge(from,0,G[from].size()-1));
}

//通过BFS计算从原点出发的距离标号
void bfs(int s){
    memset(level,-1,sizeof(level));
    queue<int>que;
    que.push(s);
    level[s]=0;
    while(!que.empty()){
        int v=que.front();que.pop();
        for(int i=0;i<G[v].size();i++){
            edge &e=G[v][i];
            if(e.cap>0&&level[e.to]<0){
                level[e.to]=level[v]+1;
                que.push(e.to);
            }
        }
    }
}

//通过dfs寻找增广路
int dfs(int v,int t,int f){
    if(v==t)return f;
    for(int &i=iter[v];i<G[v].size();i++){
        edge &e=G[v][i];
        if(e.cap>0&&level[v]<level[e.to]){
            int d=dfs(e.to,t,min(f,e.cap));
            if(d>0){
                e.cap-=d;
                G[e.to][e.rev].cap+=d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}

//求解从s到t的最大流
int max_flow(int s,int t){
    int flow=0;
    for(;;){
        bfs(s);
        if(level[t]<0)return flow;
        memset(iter,0,sizeof(iter));
        int f;
        while((f=dfs(s,t,inf))>0){
            flow+=f;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&V,&E);
    for(int i=0;i<E;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add_edge(a,b,c);
    }
    printf("%d\n",max_flow(1,V));
    return 0;
}

//5 7
//1 2 10
//2 4 6
//1 3 2
//2 3 6
//4 3 3
//4 5 8
//3 5 5

各专有名词的解释详见Dinic 学习笔记 :https://oi.men.ci/dinic-notes/。  

对Dinic 学习笔记Dinic当前弧优化“该优化基于一个显而易见的事实，每次建立层次图后，如果在某一次增广前，某个点有一条边增广过了，则这条边在当前的层次图中不会再用到了，即下一次 DFS 这个点的时候直接可以从这条边的下一条边开始。”存在不同见解。

应为“如果在某一次增广前，某个点有一条边增广过了，下一次 DFS 这个点的时候直接可以从这条边开始”，不知是否如此，望指正~                                               

                                                                                                       ---摘自《挑战程序设计竞赛》