64. 最小路径和

题目：

64. 最小路径和

题解：动态规划

思路：

// dp[i][j] 表示从左上角出发到 (i,j) 位置的最小路径和

单纯从问题来看，这是一个非常复杂的问题，需要大量的遍历操作。分析得知：每一个位置map[i][j]只可能来自map[i][j-1]向右走一个结点或者map[i-1][j]向下走一个结点，因此只需要比较到达map[i][j-1]和到达map[i-1][j]的路径较小值加上map[i][j]就是所求答案，这时考虑使用递归，但是可知，这种递归处理属于暴力搜索的方式，因为没有对任何已经计算出来的结果进行保存和复用，因此上面这种思路是低效或者不符合要求的，应该使用动态规划来解决问题。

动态规划思想：先求简单值在逐步递推求复杂值，后面的值通过前面的结果来求得。

思路：求出到达每一个结点map[i][j]的最小路径将其保存在数组dp[i][j]中，求任意dp[i][j]的值完全依赖于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]，因此先求出dp[][]数组的第1行和第1列，然后从上到下，从左到右计算出每一个位置的结果值。

①创建一个二维数组记录每个位置的最小路径dp[n][m];

②求出dp[][]中第1行和第1列的结果填充到dp[][]中；注意：在动态规划问题中第1行和第1列需要手动求出，需要根据问题的要求进行求解，一般第1行和第1列的求解很简单。

③从上到下，从左到右，通过二重循环求出任意dp[i][j]的结果填充到dp[][]中；注意：二重循环中i,j都是从1开始进行遍历，即从矩阵第2行第2列的位置开始填充。

④最后dp[n-1][m-1]就是所求的结果。

代码：动态规划

public class code64 {

    public static int minPathSum(int[][] grid) {
        if (grid == null) {
            return 0;
        }
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;

		// dp[i][j] 表示从左上角出发到 (i,j) 位置的最小路径和
        int dp[][] = new int[m][n];

        dp[0][0] = grid[0][0];

        // first col
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }

        // first row
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int grid[][] = { { 1, 3, 1 }, { 1, 5, 1 }, { 4, 2, 1 } };
        int res = minPathSum(grid);
        System.out.println(res);
    }
}

参考：

1. 动态规划3：矩阵最小路径和问题
2. LeetCode 64号问题 最小路径和
3. 最小路径和
4. 自底向上和自顶向下
5. 最小路径和 （动态规划，规范流程，清晰图解）