莫比乌斯反演 传送门

题目描述

给定整数N，求1<=x,y<=N(N<=10^7)且Gcd(x,y)为素数的 
数对(x,y)有多少对.

输入

一个整数N

输出

如题

样例输入

4

样例输出

4 
解题思路： 
这个题目出来可以用欧拉函数来解答之外，点击此处 这是欧拉函数解这道题的思路 
那么我们还可以用莫比乌斯反演来做，首先介绍一下莫比乌斯反演的公式： 

F(n)=∑d|nf(d) ⇒f(n)=∑d|nF(nd)miu(d)−−−(1)

其实还可以这么写： 

F(n)=∑n|df(d) ⇒f(n)=∑n|dmiu(dn)F(d)−−−(2)

在这道题里面就可以这么设了，那么我们现在可以给两个f函数赋值了： 

f(d)：是满足GCD(x,y)==d的(1<=x,y<=n)的对数

F(d)：是满足d|GCD(x,y)的函数(1<=x,y<=n)的对数

那么我们可以写出 

F(d)=nd∗nd−−−(3)

所以根据式子(2)和(3)可以知道 

f(n)=∑n|dmiu(dn)nd∗nd

又因为 GCD(x,y) 是素数，那么我们可以枚举区间[1,n]的每个素数（素因子分解可以实现） 

ans=∑pn(∑dnmiu(d)np∗d∗np∗d)（在这里p是素数）

然后再YY一下就可以搞定了。。。 

这里的miu就是代码里面的mu数组

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include <queue>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
const int N=1000000+1;
int prime[N],mu[N],vis[N],phi[N];
/*
因为 GCD(x,y) 是素数，那么我们可以枚举区间[1,n]的每个素数（素因子分解可以实现）
ans=n∑p(n∑d miu(d)(n/(p*d))*(n/(p*d)))（在这里p是素数）
*/
void Moblus()
{   //O(log(n))
    int i,j;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1]=1;
    int cnt=0;
    for (i=2;i<N;i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
            phi[i]=1;
        }
        for (j=0;j<cnt&&i*prime[j]<N;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j])
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                phi[i*prime[j]]=mu[i]-phi[i];
            }
            else{
                mu[i*prime[j]]=0;
                phi[i*prime[j]]=mu[i];  //mu[i]=prime[j]*phi[i]
                break;
            }
        }
    }
}
int sum[N];
void getSum()
{
    int i;
    sum[0]=0;
    for (i=1;i<N;i++)
    sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}
int main()
{
    int i,last;
    Moblus();
    getSum();
    ll n,ans=0;
    scanf("%lld",&n);
    for (i=1,last=0;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        ans+=(n/i)*(n/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}