【论文笔记】Safe Learning of Quadrotor Dynamics Using Barrier Certificates

2018 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA)
May 21

摘要

为了有效地控制复杂动力系统往往需要精确的非线性模型，但在实际运用中这些模型并不是已知的。
文章提出了一种基于高斯过程的数据流方法，该方法学习了部分未知环境下的四轴飞行器模型。(就是动力学模型部分未知)
问题的挑战在于，如果学习过程没有得到仔细的控制，系统就会变得不稳定，四轴飞行器可能会坠毁。
为了解决这个问题，使用障碍证书(barrier certificates)进行安全学习,它能够建立一个非保守的前不变安全区域，该区域基于高斯过程的统计提供了高概率的安全保证。设计了一种基于自适应采样方案的学习控制器，以有效地探索这些不确定状态并扩展安全区域。仿真结果验证了该方法的有效性。

introduction

屏障证书已成功应用于许多安全临界动力系统[12]、[18]、[19]。在本文中，构造了一个带有屏障证书的安全操作区域，并随着系统不确定性的降低而逐步扩大安全操作区域。
系统的未知动态用一个GP模型来表示，该模型同时提供了预测的均值和方差。利用GP模型的统计量，为模型不准确的系统提供了高概率的安全保障。**寻找最大容量障碍证书需要验证无限多个不等式约束，这在计算上非常昂贵。**受中离散采样技术的启发，设计了一种自适应采样算法来显著降低计算强度，即状态空间中确定区域越多，采样次数越少，不损失安全保证。
主要贡献有三方面：
首先，在障碍认证的基础上建立了一个安全的学习策略，它允许一组丰富的学习控制选项(不懂，啥选项？)。
其次，提出了一种自适应采样算法，大大降低了学习过程的计算强度。
第三，提出了一种基于GP的递归学习策略，用于复杂的三维非线性四旋翼动力学的在线学习。

PRELIMINARIES OF BARRIER CERTIFICATES AND GAUSSIAN PROCESS

A.障碍证书和集合不变式

• 考虑一个系统：$\dot{x}$=f(x)+g(x)u
• x 是系统状态，u是系统控制，f和g都是 Lipschitz 连续的(Lipschitz连续条件：函数的导数不能超过k，限制了一个连续函数的最大局部变动幅度。)
• 将系统的安全集编码为光滑函数h:
  
• 如果存在一个楔函数k(x)(class-k function),能够使如下式子成立，那么函数h(x)就称为控制障碍函数(Control Barrier Function，CBF)：
  
• 给定CBF， Barrier安全控制空间S(x)定义为：
  
• 文章引用了一个定理：给定了CBF h(x)和不变式区间，任何利普希茨连续的控制函数u，对这个系统呈现向前不变性。(不是很能理解？和我理解的向前不变性是一个东西吗)
  
• 然后他给了个小例子，说明李雅普诺夫分级集求出的安全区域没有障碍证书的大？文章主要解释了结果，理由是“这种类型的障碍证书通过允许h(x)在C内减少而不是严格增加，显著扩展了认证安全控制空间”= =不太明白。
• 和利普希茨水平子集比较，障碍证书定义的安全概念更加宽松。然后用了一个例子来说明：
  

B.高斯过程(GP)

• GP是一种非参数回归方法，可以捕获复杂的未知函数。对于一个GP，状态空间中的每一个点都与一个正态分布的随机变量相关联，这使得我们可以得到关于系统的高概率陈述。（GP其实就是随机过程的一个特例，简单的说，就是一系列关于连续域（时间或空间）的随机变量的联合，而且针对每一个时间或是空间点上的随机变量都是服从高斯分布的，只要这个分布的均值和协方差确定了，我们就能确定这个高斯过程的表达形式，见这篇文章）
• 我们现在考虑一个动力学部分未知的系统d(x)，并假设d(x)是李普希茨连续的： x ˙ \dot{x}