算法-KMP-跳跃的证明

KMP算法，非常经典。现在只考虑一个问题，为什么原串的 originIndex 能跳跃？

现在准备两个串 origin 和 match ，长度分别是 N 和 M ，分别代表原串和匹配串。

有 next 数组，下标为 nextIndex 的值代表：match 串 nextIndex 之前(不包含)前缀后缀能匹配的最长长度。

假设现在 origin 的下标是 k ， match 的下标是 0 ；进行匹配的结果是 match 匹配到 f 的时候，匹配失败。

设 n = next[f] ，那么根据 KMP 算法，跳跃的 originIndex 将会是 k+1，k+2 ~~ k+f-n-1

即下一次匹配 originIndex 将是 k+f-n 。下面是跳跃的证明，设 y=1，2 ~~ f-n-1

采用反证法进行证明。

假设存在这种情况：将 originIndex 移动到k+y的时候，匹配成功。

整理已知：

origin[k+index] == match[0+index]      index=0，1 ~~ f-1

origin[k+y+index] == match[0+index]    index=0，1 ~~ M-1

得到下面等式：

match[0] == origin[k+y+0] == origin[k+(y+0)] == match[y+0]

match[1] == origin[k+y+1] == origin[k+(y+1)] == match[y+1]

match[index] == origin[k+y+index] == origin[k+(y+index)] == match[y+index]

match[f-1-(y+1)] ==orgin[k+y+f-y-2] == origin[k+f-2] ==match[f-2]

match[f-1-(y)] == orgin[k+y+f-y-1] == origin[k+f-1] == match[f-1]

知道，match 现在有一个前缀 0 ~~ f-1-y，有一个后缀 y ~~ f-1 是完全匹配的。

而这个前缀后缀的长度是 f-y 且 n+1 <= f-y <= f-1，

即 nextIndex = f 时候，next[nextIndex] 的值是 f-y 大于原来的值 n ，在这里产生矛盾。

而当 y = f-n 时候，前后缀长度是 n，应该进行匹配判断。故 originIndex 移到 k+f-next[f]