《数学建模算法与应用第二版》——chapter1. 线性规划

1. 线性规划问题

1.1 线性规划的定义

问题的目标函数，几个不等式的约束条件，记为s.t.（即subject to）均为线性函数，则称为线性规划问题。

1.2 线性规划问题解的概念

满足约束条件的解，称为线性规划问题的可行解
使目标函数达到最大或最下值的可行解叫最优解（可以有多个）。

所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

1.3 线性规划的matlab标准形与软件求解

$$\begin{gathered} \underset{x}{\min }{f}^{T}x \\ s.t.\{\begin{array}{l}A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ lb\le x\le ub\end{array} \end{gathered}$$
式中$f,x,b,beq,lb,ub$为列向量，其中$f$称为价值向量，$b$称为资源向量；$A，Aeq$为矩阵。
Matlab 中求解线性规划的命令为

[x,fval]=linprog(f,2,b)
[x,fval]=linprog(f,A,b, Aeq,beq)
[x,fval]=linprog(f,A,,Aeq,beq,lb,ub)

式中∶x返回决策向量的取值；fval返回目标函数的最优值；f为价值向量；A和b对应线性不等式约束；Aeq和beq对应线性等式约束；b和ub分别对应决策向量的下界向量和上界向量。

例：如下线性规划问题
$$\begin{gathered} \max z=2x_1+3x_2-5x_4 \\ \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=7\\ 2x_1-5x_2+x_3\ge 10\\ x_1+3x_2+x_3\le 12\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array} \end{gathered}$$
将问题化为标准形后,求解的matlab程序如下：

f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1];b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];beq=7;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))
x,y=-y

求解的Lingo程序如下：

model:
sets:
row/1..2/:b;
col/1..3/:c,x;
links(row,col):a;
endsets 
data:
c=2,3,-5;
a=-2 5 -1 1 3 1;
b=-10 12;
enddata
max=@ sum(col:c*x);
@ for(row(i):@ sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@ sum(col:x)=7;
end

1.4 可转化为线性规划的问题

对于一些看上去不是线性规划的问题，可以通过一些数学变换将其转换为线性规划的标准形。

如对问题$$\min |x_1|+|x_2|+\cdot \cdot \cdot +|x_n|，s.t.Ax\le b$$
只要令 x i = u i − v i . ∣ x i ∣ = ∣ u i ∣ + ∣ v i ∣ x_i=u_i-v_i.|x_i|=|u_i|+|v_i| xi​=ui​−vi​.∣x