2015年第六届蓝桥杯C/C++B组省赛题目解析

1.奖券数目

有些人很迷信数字，比如带“4”的数字，认为和“死”谐音，就觉得不吉利。
虽然这些说法纯属无稽之谈，但有时还要迎合大众的需求。某抽奖活动的奖券号码是5位数（10000-99999），要求其中不要出现带“4”的号码，主办单位请你计算一下，如果任何两张奖券不重号，最多可发出奖券多少张。

• 思路一：代码解题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool check(string n)   //这里用字符判断，也可以用int类型%10判断
{
    for (int i = 0; i < n.size(); i++)
    {
        if(n[i]=='4')
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    int sum=0;
    for (int i = 10000; i <= 99999; i++)
    {
        if(check(to_string(i)))
            sum++;
    }
    cout<<sum<<endl;
    
    return 0;
}

• 思路二：手算

总共5位数字，最高位不能用0和4可用位数为8，剩下四位数字除4外都可以用每位可用数字为9位

最终结果为89999=52488

2.星系炸弹

在X星系的广袤空间中漂浮着许多X星人造“炸弹”，用来作为宇宙中的路标。每个炸弹都可以设定多少天之后爆炸。

比如：阿尔法炸弹2015年1月1日放置，定时为15天，则它在2015年1月16日爆炸。

有一个贝塔炸弹，2014年11月9日放置，定时为1000天，请你计算它爆炸的准确日期。

请填写该日期，格式为 yyyy-mm-dd 即4位年份2位月份2位日期。比如：2015-02-19请严格按照格式书写。不能出现其它文字或符号。

蓝桥杯每年基本都会有一道关于日期的问题，基本都可以用以下几种方法解决

• 思路一：代码解题

//不推荐用代码解题，费时(用下面的方法更快)，但必须要会
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int month[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31}; //2014不是闰年，初始2月为28天
bool isLunar(int year)  //判断是否是闰年
{
    if(year%400==0||(year%4==0&&year%100!=0))
        return true;
    return false;
}
int y=2014,m=11,d=9;
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 1000; i++) //1000天相当于1000次循环
    {  
        d++;
        if(d>month[m]) //如果天数大于当月天数
        {
            m++;    //月份+1
            d=1;    //天数置1
            if(m>12)    //如果月数大于12，将月数置1年份加一
            {
                m=1;
                y++;
                if(isLunar(y))  //年份加一的时候判断当前年份是否是闰年
                    month[2]=29;
                else
                    month[2]=28;   //注意不是闰年要把2月恢复成28天
            }  
        }
    }
    cout<<y<<" "<<m<<" "<<d<<endl;
    return 0;
}

• 思路三：Excel解题

在第一个单元格输入2014/11/9，然后向下拉到1001即可

如果不想向下一个一个拉，也可以选中这一列用序列填充，如图所示，1000天不到3年，填到2020年即可

也可以直接输入加1000

• 思路三：Windows自带计算器解题

首先估计大概日期，起始大概是2015年，1000天后大概不到2018年，用windows的计算器功能先选到2018年1月1日

可以看到2018年1月1日相差1149天，再往前调调可以发现2017年8月5日正好差1000天

3.三羊献瑞

观察下面的加法算式：

其中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

请你填写“三羊献瑞”所代表的4位数字（答案唯一），不要填写任何多余内容。

主要解决两个问题：列举所有排列和判断排列是否满足题意

• 思路一：用next_permutation全排列函数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int nums[10]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
int main()
{  
    do  //全排列会列举10个数的所有排列组合
    {
        if(nums[1]==0||nums[5]==0) continue; //最高位不能为0
        int x=1000*nums[1]+100*nums[2]+10*nums[3]+nums[4];
        int y=1000*nums[5]+100*nums[6]+10*nums[7]+nums[2];
        int z=10000*nums[5]+1000*nums[6]+100*nums[3]+10*nums[2]+nums[8];
        if(x+y==z)
        {
            cout<<x<<endl;
            cout<<y<<endl;
            cout<<z<<endl;
						cout<<"三羊献瑞代表的数字为："<<y<<endl;
            break;
        }
    } while (next_permutation(nums,nums+10)); 

    return 0;
}
//来源：https://www.jianshu.com/p/3b2eea3c5eff
//原本我是用全排列然后取前4位为祥瑞生辉，后四位为三羊献瑞，然后判断但是这样要判断两数相加的结果中一一对应且'气'不能和两个四字成语重复

• 思路二：用dfs列举所有排列判断

判断思想和思路一一致，但列举排列采用的dfs，前几天学了dfs但没想到用这个看来还是要多练练

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int nums[8];
bool visited[10];
int x,y,z;
void dfs(int step)
{
    //前8位都排好了则判断下是否满足要求
    if(step==8)
    {
        x=nums[0]*1000 + nums[1]*100 + nums[2]*10 + nums[3];
        y=nums[4]*1000 + nums[5]*100 + nums[6]*10 + nums[1];
        z=nums[4]*10000 + nums[5]*1000 + nums[2]*100 + nums[1]*10 + nums[7];
        if(x+y==z)
        {
            cout<<x<<endl;
            cout<<y<<endl;
            cout<<z<<endl;
            cout<<"三羊献瑞代表的数字为："<<y<<endl;
        }
        return;
    }
    //相当于列举高位不为0的所有排列
    for (int i = 0; i < 10; i++)
    {
        if((step==0||step==4)&&i==0)    //最高位不能为0
            continue;
        if(!visited[i])
        {
            visited[i]=1;
            nums[step]=i;
            dfs(step+1);
            visited[i]=0;
        }
    }   
}
int main()
{  
    dfs(0);
    return 0;
}
//来源：https://www.cnblogs.com/OctoptusLian/p/8543939.html#_label2

4.格子中输出

StringInGrid函数会在一个指定大小的格子中打印指定的字符串。

要求字符串在水平、垂直两个方向上都居中。

如果字符串太长，就截断。

如果不能恰好居中，可以稍稍偏左或者偏上一点。

下面的程序实现这个逻辑，请填写划线部分缺少的代码。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

void StringInGrid(int width, int height, const char* s)
{
	int i,k;
	char buf[1000];
	strcpy(buf, s);
	if(strlen(s)>width-2) buf[width-2]=0;
	
	printf("+");
	for(i=0;i<width-2;i++) printf("-");
	printf("+\n");
	
	for(k=1; k<(height-1)/2;k++){
		printf("|");
		for(i=0;i<width-2;i++) printf(" ");
		printf("|\n");
	}
	
	printf("|");
	
	printf("%*s%s%*s",_____________________________________________);  //填空
	          
	printf("|\n");
	
	for(k=(height-1)/2+1; k<height-1; k++){
		printf("|");
		for(i=0;i<width-2;i++) printf(" ");
		printf("|\n");
	}	
	
	printf("+");
	for(i=0;i<width-2;i++) printf("-");
	printf("+\n");	
}

int main()
{
	StringInGrid(20,6,"abcd1234");
	return 0;
}

对于题目中数据，应该输出：

思路：这题就是单纯考输出，浏览代码发现没有abcd1234那一行内容，也可以直接先将填空那行注释掉运行下看看缺啥，如图

这里隐含知识点就是printf("%*s",int,str)的含义

例如printf(“%*s”,6, “abc”)就是把”abc”放到在域宽为6的空间中右对齐。

而要填写的那行为"%*s%s%*s"对应着答案输出中的左边的空格，abcd1234和右边的空格

若要居中，左右的空格为(总宽度-字符串宽度)/2，注意这里总宽度要减去左右两个“|”

所以答案为(width-2-strlen(s))/2," “,s,(width-2-strlen(s))/2,” "

5.九数组分数

1,2,3…9 这九个数字组成一个分数，其值恰好为1/3，如何组法？

下面的程序实现了该功能，请填写划线部分缺失的代码。

#include <stdio.h>

void test(int x[])
{
    int a = x[0]*1000 + x[1]*100 + x[2]*10 + x[3];
    int b = x[4]*10000 + x[5]*1000 + x[6]*100 + x[7]*10 + x[8];
    
    if(a*3==b) printf("%d / %d\n", a, b);
}

void f(int x[], int k)
{
    int i,t;
    if(k>=9){
        test(x);
        return;
    }
    
    for(i=k; i<9; i++){
        {t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;}
        f(x,k+1);
        _____________________________________________ // 填空处
    }
}
    
int main()
{
    int x[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
    f(x,0);    
    return 0;
}

思路：非常经典的dfs，{t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;}进行修改，调用f(x,k+1);后要将修改还原回来即回溯

而{t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;}实际上就是将x[k]和x[i]互换，所以再次互换即可还原

答案：t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;

6.加法变乘法

我们都知道：1+2+3+ … + 49 = 1225现在要求你把其中两个不相邻的加号变成乘号，使得结果为2015

比如：1+2+3+…+1011+12+…+2728+29+…+49 = 2015就是符合要求的答案。

请你寻找另外一个可能的答案，并把位置靠前的那个乘号左边的数字提交（对于示例，就是提交10）。

注意：需要你提交的是一个整数，不要填写任何多余的内容。

思路：替换其中两个加号，两个for循环遍历乘号位置，替换后用1225减去原来相加的值，再加上替换后相乘的值，如果等于2015便输出

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tihuan(int x,int y)
{
    int res=1225;
    res=res-x-x-1;
    res=res-y-y-1;
    res=res+x*(x+1);
    res=res+y*(y+1);
    return res;
}
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 48; i++)
    {
        for (int j = i+1; j <= 48; j++)
        {
            if(i!=j&&abs(i-j)!=1&&tihuan(i,j)==2015)
            {
                cout<<i<<endl;
                cout<<j<<endl;
            }           
        }    
    }
    return 0;
}

答案：16

7.牌型种数

小明被劫持到X赌城，被迫与其他3人玩牌。一副扑克牌（去掉大小王牌，共52张），均匀发给4个人，每个人13张。这时，小明脑子里突然冒出一个问题：如果不考虑花色，只考虑点数，也不考虑自己得到的牌的先后顺序，自己手里能拿到的初始牌型组合一共有多少种呢？

请填写该整数，不要填写任何多余的内容或说明文字。

思路：52张牌即A、2、3、… 、K，可以看成1、2、3…13每个数字分别有4个

最直接的用13个for循环每个循环从0到4代表当前卡牌选取卡牌个数，如果和为13，则结果加1

也可以用dfs替代多重循环

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int res=0,sumn=0;
void dfs(int step,int sum)
{
    if(sumn>13)     //若当前选取卡牌个数超过13则直接return(dfs剪枝)
        return;
    if(step==13)    //当遍历到13号卡牌时
    {
        if(sumn==13)    //若总共选了13张
            res++;  
        return;    //这个return不能放在if(sumn==13)里，无论sumn等不等于13都要return不然会一直循环下去
    }
    for (int i = 0; i <= 4; i++)    //i代表step卡牌选了i张
    {
        dfs(step+1,sum+i);
    }
}
int main()
{
    dfs(0,0);
    cout<<res<<endl;    
    return 0;
}

答案：3598180

8.移动距离

X星球居民小区的楼房全是一样的，并且按矩阵样式排列。其楼房的编号为1,2,3…当排满一行时，从下一行相邻的楼往反方向排号。比如：当小区排号宽度为6时，开始情形如下：

1 2 3 4 5 6

12 11 10 9 8 7

13 14 15 …

我们的问题是：已知了两个楼号m和n，需要求出它们之间的最短移动距离（不能斜线方向移动）

输入为3个整数w m n，空格分开，都在1到10000范围内w为排号宽度，m,n为待计算的楼号。要求输出一个整数，表示m n 两楼间最短移动距离。

例如：用户输入：6 8 2则，程序应该输出：4

再例如：用户输入：4 7 20则，程序应该输出：5

思路：先判断两个数分别所在的行和列，然后用行的差和列的差相加即可

为计算方便矩阵从0行0列开始，0行0列存放0，所以对m和n减1即可

#include<iostream>
using namespace std;
int w,m,n;
int x1,y1,x2,y2;
int j1,j2,res;
int main()
{
    cin>>w>>m>>n;
    j1=((m-1)/w)%2;//m是否在奇数行
    j2=((n-1)/w)%2;//n是否在奇数行

    x1=(m-1)/w;
    y1=(m-1)%w;
    if(j1==1)   //如果在奇数行y要调换位置
        y1=w-y1-1;
    
    x2=(n-1)/w;
    y2=(n-1)%w;
    if(j2==1)
        y2=w-y2-1;
    
    res=abs(x1-x2)+abs(y1-y2);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

9.垒骰子

赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。

不要小看了 atm 的骰子数量哦～

「输入格式」第一行两个整数 n mn表示骰子数目接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。

「输出格式」一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。

「样例输入」
2 1
1 2

「样例输出」544

「数据范围」对于 30% 的数据：n <= 5对于 60% 的数据：n <= 100对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

• 思路一：用记忆化DP列举所有情况，对于每个骰子可以旋转结果乘4，具体解析见代码

代码来自：2015年第六届蓝桥杯C/C++B组省赛题目解析，根据自己理解加了详细注释

能拿一半多的分，但数据较大时会超时

#include <iostream>
#include <cstring>
#define N 1000000007
using namespace std;
int o[7] = { 0, 4, 5, 6, 1, 2, 3 }; //这样写好处是比如底面是1，那顶面就是o[1]=4
bool conflict[7][7];
int n, m;
long long ans = 0;
const int maxn = 200005;
long long dp[maxn][7];  //dp[p][q]表示第p层骰子底面是q的情况种数
long long dfs(int step, int p)  //计算第step层骰子底面是p时的情况种数(暂不考虑骰子可以旋转)
{
    if (step == n)      //最顶层底面无论是什么情况都是一种
        return 1;

    if (dp[step][p] >= 0)   //若第step层底面是q的情况种数大于等于0说明之前计算过这个数，可以直接返回，不用重复计算
        return dp[step][p];

    long long t = 0;
    for (int i = 1; i < 7; i++)
    {
        if (conflict[i][o[p]])  //判断上面那个骰子底面是i时和当前骰子的顶面o[p]冲不冲突
            continue;
        t += dfs(step + 1, i);  //遍历上面的骰子底面是i的情况种数
        t %= N;
    }
    return dp[step][p] = t; //返回第step层底面是p的情况种数，并将结果存到数组中
}

int main()
{
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int t1, t2;
        cin >> t1 >> t2;
        conflict[t1][t2] = 1;
        conflict[t2][t1] = 1;
    }
    for (int i = 1; i < 7; i++)
    {
        ans += dfs(1, i);   //对于第一层骰子，底面分别是1~6时的情况种数相加
        ans %= N;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) //而每个骰子可以旋转4次,所以对于每个骰子ans都要乘4
    {
        ans *= 4;
        ans %= N;
    }
    cout << ans << endl;
     
    return 0;
}

• 思路二：矩阵快速幂

快速幂基础知识讲解：快速幂

注：以下思路和代码来源和思路一相同

和思路一一样，我们只考虑底面的情况，最后乘上4^n即可。

我们设六阶矩阵An，其中An的第a行第b列表示第一层底面数字为a、第n层数字为b的所有排列的情况

记六阶矩阵X中，第a行第b列表示相邻两层的是否能成功连接的情况。a和b能连则为1，a和b不能连则为0（注意是相邻两层的底面，不是衔接面，所以要转化，比如题给的1 2要改为1 5）

根据上述定义，易得递推式：

An = An-1X，且 A1 = E（六阶单位矩阵）

可得到An的表达式为An = Xn-1

那么ans就是矩阵 Xn-1 的36个元素之和

注意最后侧面的4^n也要二分幂不然会爆炸

#include <iostream>
#include <cstring>
#define N 1000000007
using namespace std;
struct Matrix
{
    long long a[6][6];
    Matrix(int x)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (int i = 0; i < 6; i++) 
            a[i][i] = x;
    }
};
 
Matrix operator*(const Matrix& p, const Matrix& q) 
{
    Matrix ret(0);
    for (int i = 0; i < 6; i++)
        for (int j = 0; j < 6; j++)
            for (int k = 0; k < 6; k++)
            {
                ret.a[i][j] += p.a[i][k] * q.a[k][j];
                ret.a[i][j] %= N;
            }
    return ret;
}

Matrix fast_mod(Matrix x, int t)
{
    Matrix ret(1);
    while (t)
    {
        if (t & 1)ret = x*ret;
        x = x*x;
        t >>= 1;
    }
    return ret;
 }

int main()
{
    Matrix z(0);
    for (int  i = 0; i < 6; i++) 
        for (int  j = 0; j < 6; j++)
            z.a[i][j] = 1;
    
    int m, n;
    cin >> n >> m; 
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int t1, t2;
        cin >> t1 >> t2;
        z.a[t1 - 1][(t2 + 2) % 6] = 0;
        z.a[t2 - 1][(t1 + 2) % 6] = 0;
    }
    Matrix ret(0);
    ret = fast_mod(z, n - 1);
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < 6; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 6; j++)
        {
            ans += ret.a[i][j];
            ans %= N;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    long long p = 4;
    //用快速幂计算4的n次方乘上ans，用for循环直接算会超时(如n=724691113时)
    while (n)
    {
        if (n & 1)
        {
            ans *= p;
            ans %= N;
        }
        p *= p;
        p %= N;
        n >>= 1;
    }
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

10.生命之树

在X森林里，上帝创建了生命之树。

他给每棵树的每个节点（叶子也称为一个节点）上，都标了一个整数，代表这个点的和谐值。上帝要在这棵树内选出一个非空节点集S，使得对于S中的任意两个点a,b，都存在一个点列 {a, v1, v2, …, vk, b} 使得这个点列中的每个点都是S里面的元素，且序列中相邻两个点间有一条边相连。

在这个前提下，上帝要使得S中的点所对应的整数的和尽量大。这个最大的和就是上帝给生命之树的评分。

经过atm的努力，他已经知道了上帝给每棵树上每个节点上的整数。但是由于 atm 不擅长计算，他不知道怎样有效的求评分。他需要你为他写一个程序来计算一棵树的分数。

「输入格式」第一行一个整数 n 表示这棵树有 n 个节点。第二行 n 个整数，依次表示每个节点的评分。接下来 n-1 行，每行 2 个整数 u, v，表示存在一条 u 到 v 的边。由于这是一棵树，所以是不存在环的。

「输出格式」输出一行一个数，表示上帝给这棵树的分数。

「样例输入」

5

1 -2 -3 4 5

4 2

3 1

1 2

2 5

「样例输出」8

「数据范围」对于 30% 的数据，n <= 10对于 100% 的数据，0 < n <= 10^5, 每个节点的评分的绝对值不超过 10^6 。

题目直白翻译：在一棵树中，每个点都有一个权值，找到一个连通的节点序列使得权值和最大，输出这个最大权值

如题目示例中，蓝色方框中的节点权值和最大，为8

思路：考察树形DP，详细解释见代码(结合上图理解)

大致意思构造邻接表，然后以每个节点为根节点利用dfs算出其最大连通权值和然后取最大值

在示例中当以b为根节点时是最大值，与b相连的节点有a、e、d，而他们权值都大于0所以quan[b]的值就是quan[b] + quan[a] + quan[e] + quan[d] = 8

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100010;

int n;
ll quan[N];    //初始输入存放每个点的权值，后续存放以每个节点为根节点时的连通最大权值和
vector<int> linjie[N];   //邻接表
ll res;

//以root为根算出最大权值和
void dfs(int root, int father){
    for (int i = 0; i < linjie[root].size(); i++)
    {
        int son = linjie[root][i];
        if (son != father)  //判断邻接表中的son节点是不是已经计算过了
        {//如dfs(a,0)进来调用dfs(b,a)时，son=a,而此时son=father=a说明就是从a过来的，已经计算过a了
            dfs(son, root);
            if (quan[son] > 0)  //如果子节点的权值大于0则将子节点的权值加到root节点的权值上
                quan[root] += quan[son];
        }
    }
    res = max(res, quan[root]); //从所有以每个节点为根节点的最大权值和中取最大值
}
int main(){
    cin>>n;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        cin>>quan[i];
    
    for (int i = 1; i < n ; i ++ )  //构造邻接表
    {
        int u, v;
        cin>>u>>v;
        linjie[u].push_back(v); 
        linjie[v].push_back(u);
    }
    
    dfs(1,0);
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
}