【20240421_模拟赛16题解】

最新推荐文章于 2025-12-15 22:32:00 发布

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#算法

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文章讨论了在给定区间和特定条件（如奇偶性约束、倍数关系）下，如何通过并查集、数的奇偶性分析以及最短路径算法解决数列操作问题。涉及到了计算贡献、转移方程和时间复杂度分析。

perm

首先若 $(i + j)$ 为奇数则需要满足其中一个是奇数，另一个必须是偶数。

若 $k = 0$ ，那么要求 $A_i$ 和 $A_j$ 同号，也就是所有数必须都是同一奇偶性。若满足则答案为 $n!$ ，否则为 $0$ 。

若 $k = 1$ ，那么要求 $A_i$ 和 $A_j$ 异号。奇下标位置为 $⌈n2⌉=x\lceil \frac{n}{2}\rceil=x$ 个，偶下标位置为 $⌊n2⌋=y\lfloor\frac{n}{2}\rfloor=y$ 个。若 $a_i$ 中奇数数量和偶数数量分别为 $x 、 y$ 或者 $y 、 x$ 那么就可以成功放进去。而同奇偶性的数顺序无关，所以方案数为 $x! y!$ ，否则方案数为 $0$ 。

seg

分析一下美丽区间内的数应该长什么样。不妨设这个区间内的数构成数组 $B$ ，假设 $B1≤B2≤...≤BkB_1\leq B_2\leq...\leq B_k$ ，那么限制等价于对于所有 $2≤i≤k2\leq i\leq k$ 满足 $B_i$ 是 $B_{i-1}$ 的倍数。

所以我们只需要选取一些元素加进这个数组 $B$ ，也就是把它们放在一起，其余的元素排列顺序无所谓。而且每次要么不选，要么把这种数字全部选完。

因为贡献的计算和最小值有关，所以设 $d p (x)$ 表示当前加入数组 $B$ 里最小值是 $x$ 时， $B$ 数组大小为多少。

转移有 $dp(x)=max⁡(dp(i⋅x))+cnt(x)dp(x)=\max(dp(i·x))+cnt(x)$ ，然后取 $dp(x)×xdp(x)\times x$ 的最大值即为答案。

时间复杂度 $O(n+Amaxlog⁡Amax)\mathcal O(n+A_{max}\log A_{max})$ 。

destroy

摧毁最多的道路就对应着保留最少的路径。当 $s_1=s_2,t_1=t_2$ 时，直接保留最短路即可。

所以答案上界是 $dis(s_1,t_1)+dis(s_2,t_2)$ ，其中 $d i s (x, y)$ 表示 $x$ 到 $y$ 的最短路长度。

但是存在两条路径会重叠的情况，重叠情况只需要被计算一次。

由于 $n, m$ 只有 $3000$ ，所以可以通过枚举两个最短路重叠部分。设枚举的重叠部分端点为 $a, b$ ，那么答案为 $min_{(a,b)}\{dis(a,b)+\min(dis(s_1,a)+dis(b,t_1),dis(t_1,a)+dis(b,s_1))+\min(这里和前一个式子类似)\}$ .

所以需要处理任意两点最短路，使用 BFS 即可。时间复杂度 $O(n(n+m))\mathcal O(n(n+m))$ 。

party

因为 $2$ 操作是对整个连通块做贡献，所以使用并查集维护比较方便，记 $cnt_i$ 为以 $i$ 为代表节点的并查集举行了多少次聚会。

现在考虑 $1$ 操作，操作相当于将两个并查集合并。假设将 $Y$ 合并到 $X$ 上，会发现此时 $X$ 此前的聚会并未对 $Y$ 进行贡献。要对 $Y$ 的代表节点 $y$ 再记一个 $tmp_y$ ，表示父亲节点在与自己合并之前，已经举行了多少次聚会，来起到一个差分的作用。

另外多出 $1$ 点关系度的两人，可以用哈希表来记录。考虑查询，如果不在一个并查集里关系度肯定为 $0$ 。反之，则先暴力跳到他们的 $l c a$ ，再暴力地往上跳，每次先加 $c n t$ 再减 $t m p$ 。

最后的答案，还要先减去 $l c a$ 两个儿子 $t m p$ 的较大值，再加上哈希表里二人额外的关系度。因为并查集树高是 $l o g$ 级别的，所以暴力往上跳的复杂度是正确的。时间复杂度 $O (n l o g n)$

graph

考虑 $L = R$ ，此时图一定是基环森林。那么只有 $T$ 为 $S$ 祖先或者 $T$ 在环上的时候答案不为 $- 1$ ，直接把图建出来做就行。

对于其他情况，当 $T$ 不在环上时，问题可以转化为：

找到最小的 $k$ 使得有 $k$ 个值域在 $[L, R]$ 中的数和为 $a$ 。

这个直接预处理每个 $a$ 的答案即可。

当 $T$ 在环上的时，问题可以转化为：

找到最小的 $k$ 使得有 $k$ 个值域在 $[L, R]$ 中的数和为 $ai + b$ ，其中 $a$ 是环长。

答案是连通块大小级别。因为 $k$ 个数能组合出 $[k L, k R]$ 间的所有数，当 $kR−kL≥akR-kL\geq a$ 的时候一定能覆盖所有同余系。

当 $b≥ab\geq a$ 时，把限制变为 $ci+b%aci+b\%a$ 其中限制 $c≥⌊ba⌋c\geq \lfloor\frac{b}{a}\rfloor$ ，然后把 $[k L, k R]$ 区间按照 $k$ 从大到小排序，维护 $c≥xc\geq x$ 时候每个同余系的最小的 $k$ 。具体实现可能需要提前把区间相交处理一下。时间复杂度 $O(nlog⁡n)\mathcal O(n\log n)$ 。