P1088 [NOIP2004 普及组] 火星人——康托展开及其逆运算

人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言，但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的，首先，火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家，科学家破解这个数字的含义后，再把一个很小的数字加到这个大数上面，把结果告诉火星人，作为人类的回答。

火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手，但这只手上有成千上万的手指，这些手指排成一列，分别编号为 1,2,3,\cdots1,2,3,⋯。火星人的任意两根手指都能随意交换位置，他们就是通过这方法计数的。

一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 1,2,3,41,2,3,4 和 55，当它们按正常顺序排列时，形成了 55 位数 1234512345，当你交换无名指和小指的位置时，会形成 55 位数 1235412354，当你把五个手指的顺序完全颠倒时，会形成 5432154321，在所有能够形成的 120120 个 55 位数中，1234512345 最小，它表示 11；1235412354 第二小，它表示 22；5432154321 最大，它表示 120120。下表展示了只有 33 根手指时能够形成的 66 个 33 位数和它们代表的数字：

三进制数	代表的数字
123	1
132	2
213	3
231	4
312	5
321	6

现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。

输入格式

共三行。
第一行一个正整数 NN，表示火星人手指的数目（1 \le N \le 100001≤N≤10000）。
第二行是一个正整数 MM，表示要加上去的小整数（1 \le M \le 1001≤M≤100）。
下一行是 11 到 NN 这 NN 个整数的一个排列，用空格隔开，表示火星人手指的排列顺序。

输出格式

NN 个整数，表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开，不能有多余的空格。

输入输出样例

输入 #1复制

5
3
1 2 3 4 5

输出 #1复制

1 2 4 5 3

说明/提示

对于 30\%30% 的数据，N \le 15N≤15。

对于 60\%60% 的数据，N \le 50N≤50。

对于 100\%100% 的数据，N \le 10000N≤10000。

noip2004 普及组第 4 题

        本以为是一个水题，但是看了题解之后才发现需要用到康托展开。

//康托展开

//康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，
// 常用于构建哈希表时的空间压缩。
//  康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序
// ，因此是可逆的。


//X = a[n] * (n-1)! + a[n-1] * (n-2)! + …… + a[i] * (i-1)! + …… + a[2] * 1! + a[1] * 0!

//式中，a[i]表示原数第i位在当前未出现的元素中排在第几个
// （从0开始），并且有0 <= a[i] < i（1 <= i <= n）。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n, m;
int a[10010];
int fact[10010];


//康托展开
int kangto(int x) {

	int s = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int index = 1, f = 1, count = 0;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			f *= index;
			index++;
			if (a[i] > a[j]) {
				count++;
			}
		}
		s += count * f;
		
	}
	return s-1;
}

//逆康托展开
vector<int> decontor(int x, int n)
{
	vector<int>ans;
	vector<int>num;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		num.push_back(i);
	for (int i = n; i >= 1; i--)
	{
		int pos = x / fact[i - 1];
		x %= fact[i - 1];
		ans.push_back(num[pos]);
		num.erase(num.begin() + pos);
	}
	return ans;
}
//计算阶乘
void compane(int n) {
	fact[0] = 1;
	int now = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		now *= i;
		fact[i] = now;
	}
}
signed main() {
	cin >> n>>m;

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	
	int ans = kangto(n) + m;

	compane(n);

	vector<int>anss = decontor(ans, n);

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << anss[i] << " ";
	}
	

	return 0;
}