fzu2113 Jason的特殊爱好(数位DP)

原创于 2017-06-01 16:36:05 发布 · 457 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#dp

DP 专栏收录该内容

8 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种高效算法，用于计算指定区间内所有整数中数字1出现的总次数。通过分解数字并考虑每一位上的1可能出现的情况，该算法能够快速得出答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem 2113 Jason的特殊爱好

Accept: 314 Submit: 1012
Time Limit: 1000 mSec Memory Limit : 32768 KB

Problem Description

Jason很喜欢数字，特别是1这个数字，因为他觉得1有特殊的含义。为了让更多的人喜欢上1，他决定出一题关于1的水题（每个人都喜欢水题）。

Input

输入数据中有多组数据，每组数据输入为两个正数，a,b(1<=a,b<=10^18)。

Output

输出a到b之间的整数包含多少个1。

Sample Input

1 1000

Sample Output

301

1.思路

假如统计的是5014,对于每一位数，我们假设其左边的数位l，右边的数位r；

(1).首先枚举的是个位数：l = 501, r = 0, 当个位数是1时，左边我们可以假设位0-501到的任何一个数字，因此个位数为1时有(l+1) * 1 + r = 502种情况，属于当前位的值大于1的情况；

(2).然后是第二位：l = 50, r = 4, 因为5014的第二位为1，所以当左边取0-49时，右边可以取0-9，而当右边取50时，左边只能是0-4，因此第二位是1时有l * 10 + (r + 1) = 505,属于当前位的值等于1的情况；

(3).然后是第三位：l = 5, r = 14,因为5014的第三位为0 < 1,所以当第三位取1时，左边只能取0-4, 右边取0-99，有500种情况，属于当前位的值小于1的情况；

(4).第四位：l = 0, r = 14, 当第四位取1时，有(l + 1) * 1000 = 1000种；

所以0到5014总共有2507个1；

2.代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

int digit[20];
ll p[20];

void init() {
    p[0] = 1;
    for(int i = 1; i < 19; ++ i) {
	p[i] = p[i-1] * 10;
    }
}

ll f(ll n) {
    int pos = 0;
    ll res = 0, m = n;
    while(n) {
	digit[++pos] = n % 10;
	n /= 10;
    }
    for(int i = 1; i <= pos; ++ i) {
	ll r = m % p[i-1];              // 第i位右边的数
	ll l = m / p[i];		// 第i位左边的数
	if(digit[i] > 1) {		// 当前位的值大与1的情况
	    res += (l + 1) * p[i-1];
	}
	else if(digit[i] == 1) {        // 当前位的值等于1的情况
	    res += l * p[i-1] + r + 1;
	}
	else {				// 当前位的值小于1的情况
	    res += l * p[i-1]; 
	}
    }
    return res;
}

int main() {
    ll a, b;
    init();
    while(cin >> a >> b) {
	cout << f(b) - f(a-1) << "\n";
    }
    return 0;
}