RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题的ST（Sparse Table）解法

最新推荐文章于 2018-07-26 16:42:40 发布

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本文介绍了解决RMQ问题的SparseTable算法，通过预处理实现高效查询区间最小值，详细阐述了算法原理及其实现步骤，并提供了一个具体的应用实例。

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题，就是要求：数字序列区间最值。

如果直接遍历查询，复杂度为O(n).

对于比较大的数据和需要多次查询的场景，都是很不理想的。

常见的方法有线段树和Sparse Tabel两种方法。

复杂度：

两种算法都需要预处理，预处理的复杂度为：

线段树(segment tree) O(n)

ST（实质是动态规划） O(nlogn)

查询的复杂度：

线段树(segment tree) O(qlogn)

ST（实质是动态规划）O(1)

Sparse Table

这里主要使用ST。

ST实际实际是动态规划的实现,最小值为例：

用一个二维数组f(i,j)记录区间[i,i+2^j-1]区间中的最小值。//这个算法的精妙所在

其中f[i,0] = a[i];

2'(j-1)+2^(j-1)=2^j;

所以：f(i,j)=min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)};

在预测理的时候需要考虑j的最大值。假设数据总数为N，当我们查询最长的区间[0,N-1]之间的最值时，即需2^j-1>N;并且在dp的时候i + (1<<j) - 1 < N是就要停止。

自底向上。

void build_st_min(int n,int *num,int *f[MAXN]){
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++)
		f[i][0]=num[i];
	int tmp=log((double)n)/log(2.0);
	for(j=1;j<=tmp;j++)//include value of tmp
		for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
			f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查询:
假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <= (n - m + 1).（使用log函数，基变换）
于是我们就可以把[m, n]分成两个长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n](这两个区间部分重叠);
而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1,n-2^k+1+2^k-1]=[n-2^k+1, n]的最小值。
我们只要返回min{f(m,k),f(n-2^k+1,k)} 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.

int query_min(int a,int b,int *f[MAXN]){
	int k=(int)(log(b-a+1.0)/log(2.0));
	return min(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k]);//regional overlap
}

例题：九度：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1544

题目描述：
给定一个数字序列，查询任意给定区间内数字的最小值。
输入：
输入包含多组测试用例，每组测试用例的开头为一个整数n(1<=n<=100000)，代表数字序列的长度。
接下去一行给出n个数字，代表数字序列。数字在int范围内。
下一行为一个整数t(1<=t<=10000)，代表查询的次数。
最后t行，每行给出一个查询，由两个整数表示l、r(1<=l<=r<=n)。
输出：
对于每个查询，输出区间[l,r]内的最小值。
样例输入：
5
3 2 1 4 3
3
1 3
2 4
4 5
样例输出：
1
1
3

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=40;
void build_st_min(int n,int *num,int *f[MAXN]){
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++)
		f[i][0]=num[i];
	int tmp=log((double)n)/log(2.0);
	for(j=1;j<=tmp;j++)//include value of tmp
		for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
			f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int query_min(int a,int b,int *f[MAXN]){
	int k=(int)(log(b-a+1.0)/log(2.0));
	return min(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k]);//regional overlap
}
int main()  
    {  
        int n,i,q,a,b;  
        while(scanf("%d ",&n)!=EOF)  
        {  
			int *num=new int[n];
			int **f=new int* [n];
			for(i=0;i<n;i++)
				f[i]=new int [MAXN];
            for(i=0;i<n;i++)  
                scanf("%d",&num[i]);  
            build_st_min(n,num,f);  
            scanf("%d",&q);
            for(i=0;i<q;i++)  
            {  
                scanf("%d%d",&a,&b);  
                printf("%d\n",query_min(a-1,b-1,f));  //start from 0
            }  
        }  
        return 0;  
    }

参考：

felix021的博客：http://www.felix021.com/blog/read.php?1066