二分图的最大权匹配

二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大（最小权匹配可以转化成最大权匹配，只要对取一个大数减去当前权值，或者取反）。

注意：最大权匹配必须是在保证该匹配是完备匹配的基础上权值和最大。而完备匹配是指一个匹配它包含二分图两个点集中某一个的全集（当然也可以包括这两个全集，也就是完备匹配）。

KM算法是通过给每个顶点一个标号（我们有时称之为顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。我们令二分图中X部的节点的顶标为Ai，Y部的节点的顶标为Bi。X部与Y部节点之间的权值为Wi,j，那么，在算法进行的过程中，我们必须始终保持$A_i+B_i\geq W_{i,j}$成立。因为KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足Ai+Bi=Wi,j的边 (i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。（需要证明）

设slack[j]表示右边的点j的所有不在导出子图的边对应的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值，在find过程中，若某条边不在导出子图中就用它对相应的slack值进行更新。

交错树中，在 X 部顶点集称之为 S， 在 Y 部的顶点集称之为 T定义 slack(y)= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y)，x∈ S,  y∉ T }这样能在寻找增广路径的时候就顺便将 slack 求出。

可以保证顶标的可行性，同时，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。

算法代码（@蛋丁http://www.cnblogs.com/-dante-/p/3269019.html）：

bool dfs(int x)//匈牙利算法寻找x的增广路径 以x为根的M的交错树 
{
    int y,t;
    visx[x]=true;
    for(y=0;y<N;y++)
    {
        if(visy[y])    continue;//找增广路径的过程中不妨问已经访问过的顶点 
        t=lx[x]+ly[y]-g[x][y];//在相等子图中寻找匹配的增广路径
        if(t==0)//当前边时候是可行边
        {
            visy[y]=true;
            if(linky[y]==-1||dfs(linky[y]))
            {
                linky[y]=x;
                return true;
            }
        }
        else//因为本来就需要将一条x顶点在交错树中，y顶点不在交错树中的边扩展进交错树来
        //所以只改变这些不在等子图中的边的y顶点的松弛量 
        {
            if(slack[y]>t)
                slack[y]=t;
        }
    }
    return false;
}
//外层的匈牙利算法需要O(2)的时间，而修改顶标时由于要枚举所有的边所以也需要O(2)的时间
//所以总时间是O(4) 
//引入松弛量以后改变顶标就不需要枚举每一条边，只需要枚举不在交错树中的y的松弛量，所以
//时间复杂度降为O(3) 
int KM()
{
    int i,j,x,d,res=0;
    memset(linky,-1,sizeof(linky));
    memset(lx,0,sizeof(lx));//x的顶标
    memset(ly,0,sizeof(ly));//y的顶标
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=0;j<N;j++)
            if(g[i][j]>lx[i])
                lx[i]=g[i][j];//一开始x的顶标为所有与x相连的边中权值最大的边的权值，y的顶标为0 
    for(x=0;x<N;x++)
        {//在匈牙利算法中从每个x出发寻找增广路，如果找到就在匹配值上加1，这是为了寻找最大匹配
        //而在此处，必须找到完备匹配，所以对于每一个x中的顶点，找到其增广路就跳出，找不到的话
        //就需要修改顶标值直至找到为止 
            for(i=0;i<N;i++)
                slack[i]=INF;
            while(true)
            {//无限循环直至找到完备匹配 
                memset(visx,false,sizeof(visx));
                memset(visy,false,sizeof(visy));
                if(dfs(x))break;//若找到了曾广路，该点完成；若没有找到，需要修顶标，使得在dfs过程中可行边增多。
                d=INF;
                for(i=0;i<N;i++)
                {
                    if(!visy[i]&&d>slack[i]))//注意是取所有不在交错树中的y顶点的松弛量的最小值作为d的值 
                            d=slack[i];
                }
                for(i=0;i<N;i++)
                    if(visx[i])  lx[i]-=d;
                for(i=0;i<N;i++)
                    if(visy[i])  ly[i]+=d;
                    else slack[i]-=d;
            }
        }
    for(i=0;i<N;i++)
        if(linky[i]!=-1)    res+=g[linky[i]][i];
    return res;
}

相关问题转化：

KM（Kuhn-Munkres）算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，就每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。

例题：

URAL1076：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1076

poj 2195 Going Home(KM) ：http://poj.org/problem?id=2195

参考文章：

byvoid二分图带权匹配 KM算法与费用流模型建立:https://www.byvoid.com/zhs/blog/match-km/

Kuhn-Munkres算法：http://www.nocow.cn/index.php/Kuhn-Munkres%E7%AE%97%E6%B3%95

McFlurry:http://www.cnblogs.com/mcflurry/archive/2013/01/24/2874114.html

蛋丁：http://www.cnblogs.com/-dante-/p/3269019.html

崔添翼的求最大权二分匹配的KM算法

张文泰：http://rchardx.is-programmer.com/posts/15306.html

呆呆的人v：http://blog.sina.com.cn/s/blog_691ce2b701016reh.html 这篇文章举得例子比较详细。