2021杭电多校1002

题意

给定具有 n 个节点和 q 个操作的树，有两种操作。

1 a b ：对于链<a, b>，将x²的值增加到该链上的第x个点
例如从a到b的链=(x1,x2,x3,x4,x5),操作后x1+=1,x2+=4,x3+=9,x4+=16,x5+=25

2 x : 询问第 x 个节点的值

Tips

树链剖分后的信息：
①剖分完成后，每条重链相当于一段连续区间
比如：1-3-6-10对应的新区间是1-2-3-4
②每棵子树也对应一个连续的区间
比如x=2这棵子树对应的新区间是7-8-9-10

题解

问题可以转化为给区间加二次函数
不妨设某段区间增加(u-nid[x])²或(nid[y]-u)²

lx表示左数第几个点，lx=u-nid[x]
ry表示右数第几个点，ry=nid[y]-u

展开之后是1×nid²-2u×nid+u²×1
容易发现对三个标记分开维护就可以了

Example1

从9到7的链=(9,5,2,1,3,7)
操作后nid9+=1,nid5+=4,nid2+=9,nid1+=16,nid3+=25,nid7+=36
树剖后的对应区间：
①[5,5]，y从7跳到3，分别+6²
②[7,9]，x从9跳到1，分别+3²,+2²,+1²
③[1,2]，分别+4²,+5²

Example2

从7到9的链=(7,3,1,2,5,9)
操作后nid7+=1,nid3+=4,nid1+=9,nid2+=16,nid5+=25,nid9+=36
树剖后的对应区间：
①[5,5]，x从7跳到3，分别+1²
②[7,9]，y从9跳到1，分别+4²,+5²,+6²
③[1,2]，分别+3²,+2²

Example3

从4到8的链=(4,2,1,3,8)
操作后nid4+=1,nid2+=4,nid1+=9,nid3+=16,nid8+=25
树剖后的对应区间：
①[6,6]，y从8跳到3，分别+5²
②[10,10]，x从4跳到2，分别+1²
③[7,7]，x从2跳到1，分别+2²
④[1,2]，分别+3²,+4²

Example4

从8到4的链=(8,3,1,2,4)
操作后nid8+=1,nid3+=4,nid1+=9,nid2+=16,nid4+=25
树剖后的对应区间：
①[10,10]，y从4跳到2，分别+5²
②[6,6]，x从8跳到3，分别+1²
③[7,7]，y从2跳到1，分别+4²
④[1,2]，分别+3²,+2²

代码

线段树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,q,o,x,y,tot,head[maxn],size[maxn],d[maxn],son[maxn],f[maxn],top[maxn],nid[maxn],oid[maxn],dfn;
long long u;
struct acm
{
	int y,next;
}
a[maxn*2];
struct SegmentTree
{
	int l,r;
	long long sum1,add1,sum2,add2,sum3,add3;
	#define l(x) tree[x].l
	#define r(x) tree[x].r
	#define sum1(x) tree[x].sum1
	#define add1(x) tree[x].add1
	#define sum2(x) tree[x].sum2
	#define add2(x) tree[x].add2
	#define sum3(x) tree[x].sum3
	#define add3(x) tree[x].add3
}
tree[maxn*4];
inline int read()
{
	int num=0,flag=1;
	char c=getchar();
	for (;c<'0'||c>'9';c=getchar())
	if (c=='-') flag=-1;
	for (;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
	num=(num<<3)+(num<<1)+c-48;
	return num*flag;
}
void addd(int x,int y)
{
	a[++tot].y=y;
	a[tot].next=head[x];
	head[x]=tot;
}
void dfs1(int x,int fath)
{
	size[x]=1;
	d[x]=d[fath]+1;
	son[x]=0;
	f[x]=fath;
	for (int i=head[x];i;i=a[i].next)
	{
		int y=a[i].y;
		if (y==fath) continue;
		dfs1(y,x);
		size[x]+=size[y];
		if (size[son[x]]<size[y]) son[x]=y;
	}
}
void dfs2(int x,int topx)
{
	top[x]=topx;
	nid[x]=++dfn;
	oid[dfn]=x;
	if (son[x]!=0) dfs2(son[x],topx);
	for (int i=head[x];i;i=a[i].next)
	{
		int y=a[i].y;
		if (y!=f[x]&&y!=son[x]) dfs2(y,y);
	}
}
void spread(int p)
{
	if (add1(p))
	{
		sum1(p*2)+=add1(p)*(r(p*2)-l(p*2)+1);
		sum1(p*2+1)+=add1(p)*(r(p*2+1)-l(p*2+1)+1);
		add1(p*2)+=add1(p);
		add1(p*2+1)+=add1(p);
		add1(p)=0;
	}
	if (add2(p))
	{
		sum2(p*2)+=add2(p)*(r(p*2)-l(p*2)+1);
		sum2(p*2+1)+=add2(p)*(r(p*2+1)-l(p*2+1)+1);
		add2(p*2)+=add2(p);
		add2(p*2+1)+=add2(p);
		add2(p)=0;
	}
	if (add3(p))
	{
		sum3(p*2)+=add3(p)*(r(p*2)-l(p*2)+1);
		sum3(p*2+1)+=add3(p)*(r(p*2+1)-l(p*2+1)+1);
		add3(p*2)+=add3(p);
		add3(p*2+1)+=add3(p);
		add3(p)=0;
	}
}
void build(int p,int l,int r)
{
	l(p)=l;
	r(p)=r;
	if (l==r) return;
	int mid=(l+r)/2;
	build(p*2,l,mid);
	build(p*2+1,mid+1,r);
}
void change(int p,int l,int r,long long d1,long long d2,long long d3)
{
	if (l<=l(p)&&r>=r(p))
	{
		sum1(p)+=d1*(r(p)-l(p)+1);
		add1(p)+=d1;
		sum2(p)+=d2*(r(p)-l(p)+1);
		add2(p)+=d2;
		sum3(p)+=d3*(r(p)-l(p)+1);
		add3(p)+=d3;
		return;
	}
	spread(p);
	int mid=(l(p)+r(p))/2;
	if (l<=mid) change(p*2,l,r,d1,d2,d3);
	if (r>mid) change(p*2+1,l,r,d1,d2,d3);
	sum1(p)=sum1(p*2)+sum1(p*2+1);
	sum2(p)=sum2(p*2)+sum2(p*2+1);
	sum3(p)=sum3(p*2)+sum3(p*2+1);
}
long long ask(int p,int x)
{
	if (l(p)==r(p)) return sum1(p)*x*x+sum2(p)*x+sum3(p);
	spread(p);
	int mid=(l(p)+r(p))/2;
	if (x<=mid) return ask(p*2,x);
	else return ask(p*2+1,x);
}
int lca(int x,int y)
{
	while (top[x]!=top[y])
	{
		if (d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
		x=f[top[x]];
	}
	return d[x]<d[y]?x:y;
}
void chain(int x,int y)
{
	int lx=1,ry=d[x]+d[y]-2*d[lca(x,y)]+1;
	while (top[x]!=top[y])
	{
		if (d[top[x]]>d[top[y]])
		{
			u=nid[x]+lx;
			change(1,nid[top[x]],nid[x],1,-2*u,u*u);
			lx+=nid[x]-nid[top[x]]+1;
			x=f[top[x]];
		}
		else
		{
			u=nid[y]-ry;
			change(1,nid[top[y]],nid[y],1,-2*u,u*u);
			ry-=nid[y]-nid[top[y]]+1;
			y=f[top[y]];
		}
	}
	if (d[x]<d[y])
	{
		u=nid[y]-ry;
		change(1,nid[x],nid[y],1,-2*u,u*u);
	}
	else
	{
		u=nid[x]+lx;
		change(1,nid[y],nid[x],1,-2*u,u*u);
	}
}
int main()
{
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n=read();
	for (int i=1;i<n;++i)
	{
		x=read();
		y=read();
		addd(x,y);
		addd(y,x);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,1);
	build(1,1,n);
	q=read();
	for (int i=1;i<=q;++i)
	{
		o=read();
		if (o==1)
		{
			x=read();
			y=read();
			chain(x,y);
		}
		if (o==2)
		{
			x=read();
			printf("%lld\n",ask(1,nid[x]));
		}
	}
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}

树状数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,q,o,x,y,tot,head[maxn],size[maxn],d[maxn],son[maxn],f[maxn],top[maxn],nid[maxn],oid[maxn],dfn;
long long u,c[5][maxn];
struct acm
{
	int y,next;
}
a[maxn*2];
inline int read()
{
	int num=0,flag=1;
	char c=getchar();
	for (;c<'0'||c>'9';c=getchar())
	if (c=='-') flag=-1;
	for (;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
	num=(num<<3)+(num<<1)+c-48;
	return num*flag;
}
void addd(int x,int y)
{
	a[++tot].y=y;
	a[tot].next=head[x];
	head[x]=tot;
}
void dfs1(int x,int fath)
{
	size[x]=1;
	d[x]=d[fath]+1;
	son[x]=0;
	f[x]=fath;
	for (int i=head[x];i;i=a[i].next)
	{
		int y=a[i].y;
		if (y==fath) continue;
		dfs1(y,x);
		size[x]+=size[y];
		if (size[son[x]]<size[y]) son[x]=y;
	}
}
void dfs2(int x,int topx)
{
	top[x]=topx;
	nid[x]=++dfn;
	oid[dfn]=x;
	if (son[x]!=0) dfs2(son[x],topx);
	for (int i=head[x];i;i=a[i].next)
	{
		int y=a[i].y;
		if (y!=f[x]&&y!=son[x]) dfs2(y,y);
	}
}
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
void add(int x,long long y,int k)
{
	for (;x<=n;x+=lowbit(x))
	c[k][x]+=y;
}
long long ask(int x,int k)
{
	long long ans=0;
	for (;x;x-=lowbit(x))
	ans+=c[k][x];
	return ans;
}
int lca(int x,int y)
{
	while (top[x]!=top[y])
	{
		if (d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
		x=f[top[x]];
	}
	return d[x]<d[y]?x:y;
}
void chain(int x,int y)
{
	int lx=1,ry=d[x]+d[y]-2*d[lca(x,y)]+1;
	while (top[x]!=top[y])
	{
		if (d[top[x]]>d[top[y]])
		{
			u=nid[x]+lx;
			add(nid[top[x]],1,1);
			add(nid[x]+1,-1,1);
			add(nid[top[x]],-2*u,2);
			add(nid[x]+1,2*u,2);
			add(nid[top[x]],u*u,3);
			add(nid[x]+1,-u*u,3);
			lx+=nid[x]-nid[top[x]]+1;
			x=f[top[x]];
		}
		else
		{
			u=nid[y]-ry;
			add(nid[top[y]],1,1);
			add(nid[y]+1,-1,1);
			add(nid[top[y]],-2*u,2);
			add(nid[y]+1,2*u,2);
			add(nid[top[y]],u*u,3);
			add(nid[y]+1,-u*u,3);
			ry-=nid[y]-nid[top[y]]+1;
			y=f[top[y]];
		}
	}
	if (d[x]<d[y])
	{
		u=nid[y]-ry;
		add(nid[x],1,1);
		add(nid[y]+1,-1,1);
		add(nid[x],-2*u,2);
		add(nid[y]+1,2*u,2);
		add(nid[x],u*u,3);
		add(nid[y]+1,-u*u,3);
	}
	else
	{
		u=nid[x]+lx;
		add(nid[y],1,1);
		add(nid[x]+1,-1,1);
		add(nid[y],-2*u,2);
		add(nid[x]+1,2*u,2);
		add(nid[y],u*u,3);
		add(nid[x]+1,-u*u,3);
	}
}
int main()
{
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n=read();
	for (int i=1;i<n;++i)
	{
		x=read();
		y=read();
		addd(x,y);
		addd(y,x);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,1);
	q=read();
	for (int i=1;i<=q;++i)
	{
		o=read();
		if (o==1)
		{
			x=read();
			y=read();
			chain(x,y);
		}
		if (o==2)
		{
			x=read();
			printf("%lld\n",ask(nid[x],1)*nid[x]*nid[x]+ask(nid[x],2)*x+ask(nid[x],3));
		}
	}
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}