Leetcode 241. Different Ways to Add Parentheses之分治算法

最新推荐文章于 2025-04-02 20:42:43 发布

ziyonghong

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本文深入探讨分治算法的基本思想，通过实例解析其在不同问题中的应用，如表达式加括号、排列问题及棋盘覆盖问题。同时，介绍了如何优化算法效率，避免重复计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题链接：Different Ways to Add Parentheses (Medium) 给表达式加括号

分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同，递归求出这些子问题，然后再将各自问题的解合并便得到原问题的解了。（“分-治-合” 的一个过程）

本题以操作符为分界，将字符串分解为较小的两个子字符串，然后依次对两个子字符串进行同样的划分，直到字符串中只含有数字。再根据操作符对两端的数字进行相应的运算。

由于原问题和子问题中操作符不止有一个，那么就需要在原问题和子问题中循环找到这个操作符，进行同样的划分：

public List<Integer> diffWaysToCompute(String input) {
    List<Integer> ways = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < input.length(); i++) {
        char c = input.charAt(i);
        if (c == '+' || c == '-' || c == '*') {
            List<Integer> left = diffWaysToCompute(input.substring(0, i));
            List<Integer> right = diffWaysToCompute(input.substring(i + 1));
            for (int l : left) {
                for (int r : right) {
                    switch (c) {
                        case '+':
                            ways.add(l + r);
                            break;
                        case '-':
                            ways.add(l - r);
                            break;
                        case '*':
                            ways.add(l * r);
                            break;
                    }
                }
            }
        }
    }
    if (ways.size() == 0) {
        ways.add(Integer.valueOf(input));
    }
    return ways;
}

上面那样做存在大量对子问题的重复计算，效率不高，所以可以采用备忘录的自顶向下法，将子问题的计算结果保存下来，下次遇到同样的子问题就直接从备忘录中取出，而免去繁琐的计算。

可以用一个 HashMap，将子字符串放入HashMap

的key中，对应的计算结果放入 value 中：

	private HashMap<String, List<Integer>> hm = new HashMap<String, List<Integer>>();

	public List<Integer> diffWaysToCompute(String input) {
		if (hm.containsKey(input))
			return hm.get(input);
		List<Integer> ways = new ArrayList<Integer>();
		for (int i = 0; i < input.length(); i++) {
			char ch = input.charAt(i);
			if (ch == '+' || ch == '-' || ch == '*')
				for (Integer l : diffWaysToCompute(input.substring(0, i)))
					for (Integer r : diffWaysToCompute(input.substring(i + 1, input.length())))
						if (ch == '+')
							ways.add(l + r);
						else if (ch == '-')
							ways.add(l - r);
						else
							ways.add(l * r);
		}
		if (ways.size() == 0)
			ways.add(Integer.valueOf(input));
		hm.put(input, ways);
		return ways;
	}

关于分治算法还有很多例子：

1.排列问题（n个元素的全排列）

（1）n个元素全排列=（n-1）个元素全排列+一个元素作为前缀

（2）递归出口：只剩下一个元素

（3）不断将每个元素作为第一个元素(将其作为前缀)，并将其余元素继续全排列。等到出口，出口后还要还原数组。

for i=1 to n do 1）Ri置顶 2）Perm（R1，R2....Rn)

2.棋盘覆盖问题

void ChessBoard（P， size）{

（1)分： int s =size/2； //分割棋盘

（2）治：左上、右上、左下、右下分别求解（判断特殊棋盘是否在此块分割到的棋盘中）

ChessBoard（左上，s）；

ChessBoard（右上，s）；