期货负价格与巴舍利耶定价模型

2020年是见证历史的一年，2020年4月21日，美油6月合约收跌35.78%，报13.67美元/桶。盘中还一度暴跌近70%，最低报6.5美元/桶。我们不禁要问，当期货价格为负时，以其为标的的期权如何定价？
4月22日一大早，笔者看到CME下发通知，为应对能源期权标的价格为负的现状，根据4月8日已经做好的技术安排和预告，CME将上线“负行权价”的期权合约并将对应的期权定价模型调整为巴舍利耶模型。
巴舍利耶模型就是答案。
巴舍利耶定价模型的基本原理包括（1）假定市场是充分流动的，标的资产价格在连续变化；（2）标的资产在“真实价格”附近波动；（3）标的资产价格变化相对缓和。根据巴舍利耶公式，期权认购和认沽的表达式可以写成下面的形式：

它有别与BSM 定价公式，BSM 定价公式指的是：


实际上，巴舍利耶模型和BSM模型的异同并不代表绝对的优劣，从二者相同点来看：
（1）两个模型对市场的假设基本一致，都发轫于巴舍利耶提出的“有效市场”基本假设，巴舍利耶模型就是无套利原理的简单形式；
（2）两个模型都要求标的资产价格连续变化（尽管现实难以实现）；
（3）两个模型对标的资产波动率和时间价值具有相同的单调性，即均为严格单调递增；
（4）如果标的资产波动率和时间价值取值合理，两个模型的期权定价公式差别很小，巴舍利耶模型和BSM模型的理论期权价格之差在数量级。
而从二者的不同点来看：
（1）巴舍利耶模型要求标的资产价格围绕其“真实价格”波动，BSM模型不符合这一条件；
（2）巴舍利耶模型要求的资产价格波动率较小（论文中给出“息票”的数据约为2.4%），而BSM模型对资产价格波动率没有要求；
（3）巴舍利耶模型的假设从标准布朗运动出发，在模型的假设中标的资产价格是可以为负的，在现实中不合逻辑，而BSM模型从公司的有限责任出发，假定股价是不为负的；
（4）BSM模型价格关于σ的变化更合理。
（5）巴舍利耶模型确定的期权价格对标的资产价格变化更为敏感。
总之，巴舍利耶模型和BSM模型有相同的主要缺陷，但是只要σ和T的取值合理，两个模型的期权定价效果相差无几。当然，如果σ趋向于无穷大或者T趋向于无穷大时，BSM模型更有实际意义。
题外音：
1 、 期货价格为何为负 ？
原油期货价格为负在历史上属于首次，是基本面影响下期货空头对多头逼仓的极端行情，正常情况下基本不会发生。其次，从标的上说，商品由于承运、仓储、交割等多种原因，可能出现交易价格为“负”的现象或期货价格为“负”的现象 .
2 、金融期权的价格是否会为负数？
公司是作为以资本为基础的法人，不会出现股票价格为负的现象。